新高中数学导数及其应用

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高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

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时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平均变化率；

③求极限

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上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数

在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数 在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，

记

,则有即在点处连续。

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（Ⅱ）若函数

在点

处连续，但

在点

处不一定可导（连续不一定可导）。

反例：在点处连续，但在点处无导数。

事实上，在点处的增量

当时， ， ； 当时， ， 由此可知， 不存在，故在点处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式1 常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。 公式2 幂函数的导数：

。 公式3 正弦函数的导数：

。

公式4 余弦函数的导数：

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公式5 对数函数的导数：

（Ⅰ）；

（Ⅱ） 公式6 指数函数的导数： （Ⅰ） ； （Ⅱ） 。 （2）可导函数四则运算的求导法则 设为可导函数，则有 法则1 ； 法则2

；

法则3

。