新高中数学导数及其应用(6)

显然不合题意。

，

于是综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。 （2） 若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾； 若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾； 若，则 并且当时，； 当时， ∴综合可知，当时，恰有三个单调区间：

减区间

；增区间

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点评：对于（1），由已知条件得

，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条

件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例7、已知函数且极大值比极小值大4.

（1）求常数的值； （2）求的极值。 解： （1）， 令得方程 ∵在处取得极值 ∴或为上述方程的根， 故有 ∴，即 ∴

，当且仅当时，取得极值，并

①

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又∵仅当时取得极值，

∴方程的根只有或，

∴方程无实根，

∴即 而当时，恒成立， ∴的正负情况只取决于的取值情况 当x变化时，与的变化情况如下表： + 0 极大值 — 1 0 极小值 (1，+∞) + ∴在处取得极大值，在处取得极小值。 由题意得 整理得 ②

于是将①，②联立，解得

（2）由（1）知，

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点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系，立足研究的根的

情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数 例8、 ”与“

在

处取得极值”的必要关系。

（1）已知 的最大值为3，最小值为-29，求的值； （2）设求常数 解： 的值。 ，函数的最大值为1，最小值为， （1）这里，不然与题设矛盾 令，解得或x=4（舍去） （Ⅰ）若，则当时，，在内递增；

当时，，在内递减

又连续，故当时，取得最大值

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∴由已知得

而

∴此时的最小值为

∴由得

（Ⅱ）若，则运用类似的方法可得当； 时有最小值，故有 又 ∴当时，有最大值， ∴由已知得 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求或 （2）， 令得 解得

当在上变化时，与的变化情况如下表：

-1 (-1,0) + 0 0 极大值 — 0 极小值 + 1