新高中数学导数及其应用(8)

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1、当

即或时，方程有两个不同的实根、，

不防设，

于是，从而有下表：

+ ↗ 0 为极大值 — ↘ 0 为极小值 + ↗ 即此时有两个极值点； 2、当即时，方程有两个相同的实根， 于是无极值； ，故当时，；当时，，因此 3、当即时，， 而， 故为增函数。此时无极值；

∴当

时，有两个极值点；当时，无极值点。

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2已知函数的图象在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间。

解析： （1）由在切线上，求得，再由在函数图象上和得两个关于 的方程。 （2）令，求出极值点，求增区间，求减区间。 此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 （Ⅰ）由函数的图象在点处的切线方程为知： ，即，

∴

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即

解得

所以所求函数解析式

（Ⅱ） 令解得 当或时， 当时， 所以是增函数。 在内是减函数，在内 3已知 （Ⅰ）求

是函数与的关系表达式；

的一个极值点，其中 （Ⅱ）求

的单调区间；

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（Ⅲ）当范围。

解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第2小题要根据

的符号，分类讨论

的单调区间；第3小题是

时，函数

的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求

的取值

二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。 解答： （Ⅰ），是函数的一个极值点 ∴ ∴； （Ⅱ） 令，得 与的变化如下表：

— 单调递减 0 极小值 + 单调递增 1 0 极大值 — 单调递减 因此，的单调递减区间是和；的单调递增区间是；

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（Ⅲ）由（Ⅱ）

即

令，

且，

即m的取值范围是。 4 已知函数。 （Ⅰ）求 的单调区间和值域； （Ⅱ）设，使得

，函数成立，求的取值范围。 ，若对于任意，总存在 解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，

（Ⅰ）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，