新高中数学导数及其应用(2)

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3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则

设

自变量x的导数的导数

，

，复合成以x为自变量的函数

，等于已知函数对中间变量

的导数

，则复合函数对

，乘以中间变量u对自变量x

即 。 引申：设 （2）认知 ，复合成函数，则有 （Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出二层中间变量，由第一层中间变量的函数结构设出的函数结构设出，由第，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数函数的链条： 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单 ； （Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

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③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用 1、函数的单调性

（1）导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若，则在这一区间上为常函数。 为减函数；若在某个区间内恒有 （2）利用导数求函数单调性的步骤 （Ⅰ）确定函数 的定义域； （Ⅱ）求导数 ； （Ⅲ）令，解出相应的x的范围 当 时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。 （3）强调与认知 （Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式取值范围为B，则应用

；

确定的x的取值集合为A，由

确定的x的

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（Ⅱ）在某一区间内

（或

）是函数

在这一区间上为增（或减）函

数的充分（不必要）条件。因此方程数划分单调区间时，除去确定它们也可能是增、减区间的分界点。

举例： 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函

的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，

（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。 （2）+∞）内递增。 2、函数的极值 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0， （1）函数的极值的定义 设函数是函数 在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有； ，则说的一个极大值，记作 如果对附近的所有点，都有。

，则说是函数的一个极小值，记作

极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知：

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（Ⅰ）函数的极值点得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

是区间

内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取

（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。 （2）函数的极值的判定 设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是 （Ⅰ）如果在点 附近的左侧，右侧，则为极大值； （Ⅱ）如果在点 附近的左侧，右侧，则为极小值； 注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 （3）探求函数极值的步骤： 的导数研究中悟出这一点。 （Ⅰ）求导数

；

（Ⅱ）求方程

的实根及不存在的点；

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考察

在上述方程的根以及

不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则在这一点取得极小值。

在

这一点取得极大值，若左负右正，则

3、函数的最大值与最小值 （1）定理

若函数连续的函数 认知： 在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内不一定有最大值与最小值。 （Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 （Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。 （Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。 （2）探求步骤：

设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小

值的步骤如下：

（I）求

在内的极值；