大学物理学习题与答案(7)

R r O r+dr 题图10.10 ??V 解：∵介质是球对称的，且?0均匀分布，∴??，?? 也必为球对称分布．因而电场必为球对称分布．用D的高斯定理，可求得半径为r(r?R)的同心球面上

?????0r??0???D；E?D??r；P??0?eE?e0r

3?r3?0?r3?0?r在介质内，取半径r?r?dr间的球壳为体元，则可求出介质内极化电荷体密度

P?ds??Pr?dr?4?(r?dr)2?Pr?4?r2q?S ???????2?V?V4?rdr?e?0???4?(r?dr)3?e0?4?r33?r3?r ??

4?r2dr

?e?0???4?[r3?3r2dr?3r(dr)2?(dr)3]?e0?4?r33?r3?r?? 24?rdr略去dr的高次项，则

??????e?01???1??r??r???0 ， (??与?0异号) ?介质表面极化电荷面密度：

?n?PR????PR?e

??e?01??R??1??0R, （??与?0同号）． 3?r?3?r?

10.24 如题图10.11所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满介电常量按???0(1?x/d)规律变化的电介质。在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。

S ??O d 题图10.11 x

解：设两极板上分别带自由电荷面密度??0，则介质中的电场强度分布为

E??0?0?0d?? ??0(1?x/d)?0?d?x?

?0dddx?0d?ln2 两极板之间的电势差为 U??Edx?0?0?0d?x?0?S?S该电容器的电容值为 C?0?0

Udln2d

10.25 如题图10.12所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，筒长都是L，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷?Q和?Q．设(b?a)??a，L??b，可以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量．

b a L

解：（1）、由题给条件 (b?a)??a和L??b，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之间的场强为

E?(Q/L)/(2??0?rr)?Q/(2??0?rLr) 两筒间的电势差 U?题图10.12 Qbdrln ??2???La2???Lr0r0rabQ电容器的电容 C?Q/U?(2??0?rL)/[ln(b/a)] （2）、电容器贮存的能量 W?1CU2?[Q2/(4??0?rL)]ln(b/a)。 2

?1010.26两个相同的空气电容器，其电容都是C0?9?10F，都充电到电压各为U0?900V 后断开电源，然后把其中之一浸入煤油 (?r?2)中，然后把两个电容器并联，求

(1)、浸入煤油过程中损失的静电能；（2）、并联过程中损失的静电能。 解：（1）电容器浸入煤油前的能量为

11W1?CU2??0.9?10?9?9002?3.65?10?4J

22浸入煤油后，电容器的能量

3.65?10?4W1???J?1.82?10?4J

?r2W1?4在此过程中损失的能量为 W1?W1??1.83?10J。

（2）、并联前，两个电容器的总能量为

W2?W1?W1??3.65?10?4?1.82?10?4?5.47?10?4J

并联后的总电容C??C??rC?(1??r)C。并联电容器上的总电量q?2CU 并联后电容器的总能量为

222q(2CU)2CU44W2?????W1?W1?4.86?10?4J

2C?2(1??r)C1??r1??r3?4?4?4并联过程中损失的能量为 W2?W2??5.47?10?4.86?10?0.61?10J。

10.27电容C1?4?F的电容器在800V的电势差下充电，然后切断电源，并将此电容器的两个极板与原来不带电、C2?6?F的电容器的两极板相连，求： （1）、每个电容器极板所带的电荷量； （2）、连接前后的静电能。 解：1）、电容器的总电荷量为：

q?C1U?4?10?6?800C?3.2?10?3C

设两个电容器极板所带的电荷量分别为q1和q2，则由 q1?q2?q，

q1q2??U? C1C2得： q1?C1q?1.28?10?3C，q2?q?q1?1.92?10?3C

C1?C22） 、连接前的静电场能就是连接前第一个电容器的能量，即：

W1?11C1U2??4?10?6?8002?1.28J 22连接后的静电场能即并联后电容器的能量，即：

q2(3.2?10?3)2W2???0.512J ?6?62(C1?C2)2?(4?10?6?10)

10.28 一平行板电容器的极板面积为S = 1 m2，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板．已知玻璃的相对介电常量为?r?5。电容器充电到电压U = 12 V以后切断电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。(真空介电常量10-12 C2·N-1·m-2 ) 0 = 8.85×

解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功．抽出玻璃板前后的电容值分别为

C?(?0?rS)/d，C??(?0S)/d 撤电源后再抽玻璃板．板上电荷不变，但电压改变，即

Q?CU?C?U? ∴ U??(CU)/C???rU

抽玻璃板前后电容器的能量分别为

W?1CU2?1(?0?rS/d)U2

22W??1C?U?2?1(?0?rS/d)U2

222外力作功 A?W??W?1(?0?rSU2/d)(?r?1) = 2.55×10-6 J

2

10.29 一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．设极板之间电势差为U．试求在维持电势差U不变下将介质取出，外力需作功多少？

解：在两极板之间电势差U不变下，有介质时电容器中的电场能量为

11U22W1?C1U??0?rS

22d取出介质后的电场能量为

11U22W2?C2U??0S

22d在两极板之间电势差U不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化

?q?q2?q1?C2U?C1U??0电源作功 A2?U?q??0S?1??r?U dS?1??r?U2 d设外力作功为A1，则根据功能原理，A1+A2??W?W2?W1

1S故外力作功 A1??W?A2???r?1??0U2

2d

习题十一

一选择题

11.1 室温下，铜导线内自由电子数密度为n?8.5?10个/m, 导线中电流密度的大小 (A) 1.5×10-4 m/s． (B) 1.5×10-2 m/s．(C) 5.4×102 m/s． (D) 1.1×105 m/s． ［A］

11.2 在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大．在圆柱与圆筒之间充满电导率为?的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒间加上一定电压时，在长度为l的一段导体上总的径向电流为I，如题图11.1所示．则在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电场强度为： (A)

83J?2?106A/m2，则电子定向漂移速率为：

Il2?rIII?； (B) ； (C) ； (D) 。 ［B］ 222?rl?l?2?rl2?r? 题图11.1

11.3 已知直径为0.02 m、长为 0.1 m的圆柱形导线中通有稳恒电流，在60秒钟内导线放出的热量为 100 J。已知导线的电导率为 6?10??m，则导线中的电场强度为：

(A) 2.78×10-13 V·m-1． (B) 10-13 V·m-1． (C) 2.97×10-2 V·m-1． (D) 3.18 V·m-1． ［C］

11.4 如题图11.2所示的电路中，两电源的电动势分别为?1、?2，内阻分别为r1，r2。三个负载电阻阻值分别为R1,R2,R，电流分别为I1,I2,I3，方向如题图11.2。则A到Ｂ的电势增量VB?VA为：

(A) ?2??1?I1R1?I2R2?I3R．

(B) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)?I3R．

7?1?1

(C) ?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)．

(D)?2??1?I1(R1?r1)?I2(R2?r2)． ［C］

11.5在题图11.3的电路中，电源的电动势分别为?1、?2和?3，内阻分别是r1、r2和r3，外电阻分别为R1、R2和R3，电流分别为I1、I2和I3，方向如图。下列各式中正确的是 (A) ?3??1?I1(R1?r1)?I3(R3?r3)?0 (B) I1?I2?I3?0

(C) ?2??1?I1(R1?r2)?I2(R2?r2)?0

(D) ?2??3?I2(R2?r2)?I3(R3?r3)?0 ［A］

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