大学物理学习题与答案(6)

C3?4?10?6F，当A、B间电压U?100V时，试求：

(1) A、B之间的电容；

(2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？

A U B 题图10.7 C1 C2 C3 解：(1) C?(C1?C2)C3?3.16?10?6F

C1?C2?C3

(2) C1上电压升到U?100V，电荷增加到Q1?C1U?1?10C

10.17 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为1:2，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？

?3

解：如图，设可变电容器的静片数为n，定片数为n?1，标准情况下，极板间的距离为d[图a]，极板相对面积为S。则该电容器组为2(n?1)个相同的平行板电容器并联[图a]。总电容为C?2(n?1)?0S。 dC??(n?1)?0SS?(n?1)?0 ab当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为a:b?1:2后，总电容为：

?(n?1)?0S所以电容增加了：

a?b2dS9?(n?1)?0S24?(n?1)?0? abd43d?3d?C?C??C?1S(n?1)?0 4d

10.18 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度?0＝1.77×10-6 C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为?r?8 的各向同性均匀电介质板．计算电介质中的电位移D、场强E和电极化强度P的大小。(真空介电常量?0＝8.85×10-12 C2 / N·m2)

?解：由D的高斯定理求得电位移的大小为

???D??0?1.77?10?6C/m2 ?由D??0?rE的关系式得到场强E的大小为

DE?＝2.5×104 V/m

?0?r介质中的电极化强度的大小为

P??0?eE= ?0(?r?1)E?1.55?10?6C/m2

10.19 如题图10.8所示，一空气平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t ((t?d)、相对介电常量为?r的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值。

t S d 题图10.8

解：设极板上的自由电荷面密度为?0．应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为

D??

由D??0?rE得：空气中的电场强度大小为E0??0?0；电介质中的电场强度的大小为E0??0(?0?r)。

两极板之间的电势差为

U?E0(d?t)?Et ?电容器的电容为

???t???d??1??r?t??d?t??? ?0?0?r?0?r?r?SU?C??rd??1??r?t?0?rS

作法二： 看成二个电容串联， C1??0Sd?t， C2??0?rSt ，则

C??0?rSC1C2?

C1?C2?rd??1??r?t

10.20一平行板电容器，极板间距离为10cm，其间有一半充以相对介电常量?r?10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示．当两极间电势差为100 V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。

?? ??解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和E1、E2，则

U?E1d?E2d (1)

D1??0E1 (2)

D2??0?rE2 (3)

联立解得

U?1000V/m dD1??0E1?8.85?10?9C/m2；D2??0?rE2?8.85?10?8C/m2

E1?E2?方向均相同，由正极板垂直指向负极板．

10.21 一导体球带电荷Q?1.0C，放在相对介电常量为?r?5 的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q?。

解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．以r(r?R)为半径作一同心高斯球面S．按D的高斯定理，可求出介质内半径r的同心球面S上各点电位移的大小

?

??SD?ds?Q?4?r2D?Q?D?DRQ4??0?rR2Q,(r?R) 4?r2介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为

ER?电极化强度的大小为

?0?r?

?1PR??0(?r?1)ER??1???r极化电荷面密度为

?Q ?24?R???1?Q ?2?r?4?R???PR??en?PR?(??e)P??r??R??1?12??Q?4?R????1???r分界面上的束缚电荷为

??Q??0.8C ?

10.22 半径为R的介质球，相对介电常量为?r、其自由电体荷密度???0(1?rR)，式中?0为常量，r是球心到球内某点的距离．试求：

(1) 介质球内的电位移和场强分布．(2) 在半径r多大处场强最大？

解：(1) 在介质中，取半径为r??r??dr?的同心薄壳层，其中包含电荷

dq??dV??0?1?r?/R?4?r?2dr??4??0?r?2?r?3/R?dr?

?取半径为r的同心球形高斯面，应用D的高斯定理，

r??r3r4??rr2?r?3?22?4?rD?4??0??r???dr??4??0?????D??0?3?4R? 0R34R??????则介质内半径为r的球面上各点的电位移为：

?rr2??r为径向单位矢量） ?r??0???r，D?De（e?e34R??介质内半径为r的球面上各点的电场为

?E?D/??0?r??0?0?r(2) 对E(r)求极值

?rr2??r， ???e?34R??dE?0dr?0?r?1r?????0 32R??d2E22?0r?R处E最大。 得r?R，且因，所以2dr33

10.23 如题图10.10，一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为?r，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为?0．求球内的束缚电荷体密度??和球表面上的束缚电荷面密度??。