高一数学必修一典型题(8)

函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=f(x) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位. a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x?0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x?0时y=f(x)的图象关于y轴对称. y=|f(x)| yf?1(x) ∵y?f(x)???f(x),f(x)?0；，∴y=|f(x)|的图象??f(x),f(x)?0.是y=f(x)?0与y=f(x)<0图象的组合. ＝y=f?1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称. 以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.

例3探讨函数y?ax和y?a?x (a?0且a?1)的图象的关系，并证明

关

于y轴对称 证：设P(x1,y1)是函数y?ax (a?0且a?1)的图象上任意一点 则y1?ax 而P(x1,y1)关于y轴的对称点Q是(-x1,y1) 1 ∴ y1?ax?a?(?x) 即Q在函数y?a?x的图象上 11 由于P是任意取的,所以y?ax上任一点关于y轴的对称点都在

y?a?x的图象上 同理可证：y?a?x 图象上任意一点也一定在函数y?ax的图象上

∴ 函数y?ax和y?a?x的图象关于y轴对称 2x?2?x例4 已知函数 y? 求函数

26543的定义域、值域 21解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理

定义域为 R -4-2242x?2?x由y?得 22x?2y?2x?1?0

2∵x?R, ∴△?0, 即 4y2?4?0, ∴y2?1, 又∵y?0，∴

y?1

例1已知函数f(x)的定义域是［0，1］，则函数f(x2)的定义域是

________.

解：由0≤x2≤1,解得-1≤x≤1 ∴f(x2)的定义域为［－1，1］. 评述：针对题目中函数关系抽象的特点，可将f(x)具体化，能有助于对问题的理解与判断.设f(x)=x(1?x),它的定义域是［0，1］，这时，f(x2)= x2(1?x2)的定义域是［-1，1］，由此可见，列举实例是处理抽象函数有关问题的有效方法.

例2若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）

A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1) 分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程. 解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)

在x＜2时，y=f(x)为减函数 ∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2) 即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A 通过此题可将对称语言推广如下：

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴

（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=的对称轴.

例3求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.

a?b是f(x)2

解：先求最小值.

因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;

(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a2;

(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a

(a?2)?6?4a, ? (2?a?4) 综上所述：f(x)min=?2?a2, ?18?8a, (a?2)?最大值为f(2)与f(4)中较大者：

f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;

39282-10-5024a5-2-4-610152025716-4-25-10-222a4468-8-104-123-14-32-16-181-4-20-6-4-20-1a2244-568-22(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a. 故f(x)max=?(a?3)?6?4a, (a?3)?8?8a, 评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大

小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.

例4函数f(x)=x2-bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是（ ）

A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)＜f(cx) D.f(bx)＞f(cx)

分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合bx,cx的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.

解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-∴b=2,又f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)=x2-2x+3 ?b=1 2(1)当x＞0时，1＜2x＜3x,且f(x)在［1，+∞)上是增函数 所以f(2x)＜f(3x),即f(bx)＜f(cx) (2)当x＜0时，1＞2x＞3x,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2x)＜f(3x)，即f(bx)＜f(cx) (3)当x=0时，2x=3x=1

则f(2x)=f(3x),即f(bx)=f(cx) 综上所述，f(bx)≤f(cx). 答案：A 一、选择题

1、设集合A和集合B都是自然数集合N，映射f:A?B把集合A