高一数学必修一典型题(2)

a e a e a e b f b f b f c g c g c g d d (是) （不是） （是） 是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的 例2下列各组映射是否同一映射？

a e a e d e b f b f b f

c g c g c g

例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，

对应法则f:x?2x?1

（2）设A?N*,B?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数 （3）A?N，B?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数

（4）设X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}111f:x?x取倒数

234:x?小于x的最大质数

（5）A?{x|x?2,x?N},B?N，f

例1某种笔记本每个5元，买 x?{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x，x?{1,2,3,4}.

它的图象由4个孤立点A (1， 5) B (2， 10) (4， 20)组成，如图所示 C (3， 15) D

例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0

?80,x?(0,20],?160,x?(20,40],??y??240,x?(40,60], ?320,x?(60,80],???400,x?(80,100].y400320240160这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.

这一种函数我们把它称为分段函数 8020406080100x例3 画出函数y=|x|=??x??xx?0,的图象. x?0.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.

说明：①再次说明函数图象的多样性；

②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.

yy={xx?01xx<0x③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷

?1，x是有理数，（Dirichlet）函数D(x)=?,我们就作不出它的图象.

0，x是无理数.?例4作出分段函数y?x?1?x?2的图像

解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：

x??2??(2x?1)? y?x?1?x?2=?3 ?2?x?1

?2x?1x?1?y作出图像如下

例5作出函数y?x?的图象 列表描点：

101xxK'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0， -5.2)(-4.0， -4.3)(-3.0， -3.3)(-2.0， -2.5)(-1.0， -2.0)(-0.4， -3.0)(-0.3， -4.0)(-0.2， -5.0)8QPOGNMLK(0.2， 5.0)(0.3， 4.0)(0.4， 3.0)(1.0， 2.0)(2.0， 2.5)(3.0， 3.3)(4.0， 4.3)(5.0， 5.2)6

M'-10-5Q4KLMGNPO2510-2N'L'K'G'O'-4 P'Q'-6

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数y?(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； 二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，

当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}；当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)}.

4a4a22kx例1．求下列函数的值域

① y=3x+2(-1?x?1) ②f(x)?2?4?x ③y?x1 ④y?x? x?1x解：①∵-1?x?1，∴-3?3x?3，

∴-1?3x+2?5，即-1?y?5，∴值域是[-1，5] ②∵

4?x?[0,??)

∴f(x)?[2,??) 即函数f(x)?2?4?x的值域是 { y| y?2} ③y? ∵

xx?1?11??1? x?1x?1x?11?0 ∴y?1 x?1 即函数的值域是 { y| y?R且y?1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴y?x?=(x?1x1x)2?2?2，

当x<0时，y??(?x?121)?2??2)=－(?x??x?x ∴值域是(??,?2]?[2，+?).（此法也称为配方法） 函数y?x?的图像为： 2．二次函数比区间上的值

-61x43(最值)：

例2 求下列函数的最大最小值与值域：

①y?x2?4x?1； ②y?x2?4x?1,x?[3,4]；

12f?x? = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246域

-4值、

③y?x2?4x?1,x?[0,1]； ④y?x2?4x?1,x?[0,5]；

解：∵y?x2?4x?1?(x?2)2?3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y?-3 }.

②∵顶点横坐标2?[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2?[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2? [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5

y321-2-1O-1-2-3123456x