高一数学必修一典型题(4)

4．换元法

例4．求函数y?2x?41?x的值域 解：设 t?1?x 则 t?0 x=1?t2

代入得 y?f (t)?2?(1?t2)?4t??2t2?4t?2??2(t?1)2?4 ∵t?0 ∴y?4 5．分段函数

y例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：

??2x?1(x??1)?y??3(?1?x?2)，画出它的图象（下图），由图?2x?1(x?2)?3-1O2x象可知，函数的值域是{y|y?3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+?]. 如图

x-1O12

-1Ox12

-1O12x 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

例1 如图6是定义在闭区间5]上的函数y?f(x)的图象，根据说出y?f(x)的单调区间，以及在单调区间上，函数y?f(x)是增函是减函数.

-5-2Oy[-5，图象

135x每一数还

解：函数y?f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y?f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.

说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.

例2 证明函数f(x)?3x?2在R上是增函数.

证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1

f(x1)－f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1－x2),

由x1

例3 证明函数f(x)?在(0,+?)上是减函数.

证明：设x1,x2是(0,+?)上的任意两个实数，且x1

11x?x－=21, x1x2x1x21x由x1,x2∈(0,+ ?)，得x1x2>0,

又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)> f(x2) ∴f(x)?在(0,+ ?)上是减函数.

1x

例4．讨论函数f(x)?x2?2ax?3在(-2,2)内的单调性. 解：∵f(x)?x2?2ax?3?(x-a)2?3?a2，对称轴x?a ∴若a??2,则f(x)?x2?2ax?3在(-2,2)内是增函数；

若?2?a?2则f(x)?x2?2ax?3在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数

若a?2,则f(x)?x2?2ax?3在(-2,2)内是减函数. 1．函数单调性的证明

例1．判断并证明函数f(x)?x3的单调性 证明：设x1?x2则

f(x1)?f(x2)?x1?x2?(x1?x2)(x1?x1x2?x2)

3222∵x1?x2 ∴x1?x2?0 ，x1?x1x2?x222x3x?(x1?2)2?2?0,

242∴f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2) （注：关键f(x1)?f(x2)?0的判断） ∴f(x)?x3在R上是增函数. 2．复合函数单调性的判断

对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果u?g(x)在区间(a,b)上是具有单调性，当x?(a,b)时，u?(m,n)，且y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

y?f(u) u?g(x) 增 ↗ 增 减 减 ↘ 增 减