高一数学必修一典型题

例1 求下列函数的定义域： ① f(x)?11；② f(x)?3x?2；③ f(x)?x?1?.

2?xx?2分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定如果只给出解析式y?f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式而x?2时，分式

1无意义， x?21有意义，∴这个函数的定义域是?x|x?2?. x?22②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x?2无意义，

32而3x?2?0，即x??时，根式3x?2才有意义，

32∴这个函数的定义域是{x|x??}.

3③∵当x?1?0且2?x?0，即x??1且x?2时，根式x?1和分式

1 同时有意义， 2?x∴这个函数的定义域是{x|x??1且x?2} 另解：要使函数有意义，必须： ??x?1?0?x??1 ? ?

?2?x?0?x?2 ∴这个函数的定义域是： {x|x??1且x?2}

强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.

例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).

解：f(3)=3×32-5×3+2=14；

f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52； f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a2+a.

例3下列函数中哪个与函数y?x是同一个函数？

⑴y??x?；⑵y?3x3；⑶y?x2

2解：⑴y??x?＝x（x?0）,y?0，定义域不同且值域不同，不

2是；

⑵y?3x3＝x（x?R）,y?R，定义域值域都相同，是同一个函数；

⑶y?x2＝|x|=??x,x?0,y?0；值域不同，不是同一个函数 ??xx?0例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①y1?(x?3)(x?5)x?3y2?x?5 （定义域不同）

②y1?x?1x?1 y2?(x?1)(x?1) （定义域不同） ③f1(x)?(2x?5)2 f2(x)?2x?5 （定义域、值域都不同）

(x?0)?0f(1)?2;f(?1)?0;f(0)???例1已知f(x)??? (x?0) ?

f{f[f(?1)]}???1?x?1(x?0)?例2已知f(x)=x2?1 g(x)=x?1求f[g(x)] 解：f[g(x)]=（x?1）2?1=x+2x

例3 求下列函数的定义域： ①f(x)?③f(x)?1?4?x?1 ②f(x)?2x2?3x?4

x?1?2111?1x ④f(x)?(x?1)0x?x

⑤y?x?2?3?313x?7

解：①要使函数有意义，必须：4?x2?1 即： ?3?x?3 ∴函数f(x)?4?x2?1的定义域为： [?3,3]

?x2?3x?4?0?x??4或x??1②要使函数有意义，必须：? ???x??3且x?1?x?1?2?0 ?x??3或?3?x??1或x?4

∴定义域为：{ x|x??3或?3?x??1或x?4}

?x?0??1③要使函数有意义，必须： ??1??0 ?

x??1?1?01?1??x1 ∴函数的定义域为：{x|x?R且x?0,?1,?}

2?x?0??x??1 ?x??1?2?x?1?0?x??1④要使函数有意义，必须： ? ??

x?x?0??x?0 ∴定义域为：?x|x??1或?1?x?0?

??x?2?3?0?x?R⑤要使函数有意义，必须： ? ??x??7

??3x?7?03?77即 x? ∴定义域为：{x|x??7}

333例4 若函数y?ax2?ax?的定义域是R，求实数a 的取值范围 1a解：∵定义域是R,∴ax2?ax??0恒成立，

a?0??∴等价于???a2?4a?1?0?0?a?2

?a?1a例5 若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数

11y?f(x?)?f(x?)的定义域 44解：要使函数有意义，必须：

1??5?1?x??1???4?x?4???13??1?x??1???x?4??44434??3?x?3 5444?44?1133?∴函数y?f(x?)?f(x?)的定义域为：?x|??x???

求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

例6 已知f(x)满足2f(x)?∵已知2f(x)?1f()?3x x1f()?3x，求f(x)； x ①，

f(x)?3 x将①中x换成得2f(1)?x①×2-②得3f(x)?6x?3

x1x ②，

x ∴f(x)?2x?1.

例7 设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.

解：设f(x)?ax2?bx?c(a?0),

∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；

又∵f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10， ∴得对称轴x=2且x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2=10，

bb26即??2且2??10，∴a=1，b=-4，∴f(x)?x2?4x?3

2aaa四、练习：

1．设f(x)的定义域是[?3，2]，求函数f(x?2)的定义域 解：要使函数有意义，必须： ?1?x?2?2 ?3?x?2?2 得： ∵

x≥0 ∴ 0?x?2?2 0?x?6?42

∴ 函数f(x?2)的定域义为：?x|0?x?6?42?

2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式 解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1

??k2?4?k??2?k?21 或 ?则? ??b???b?1?(k?1)b??1?3?∴f(x)?2x?或f(x)??2x?1 3．若f(x?1）?x?2x,求f(x) 13 解法一（换元法）：令t=x?1则x=t2?1, t≥1代入原式有 f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1

∴f(x)?x2?1 （x≥1）

解法二（定义法）：x?2x?(x?1)2?1

∴f(x?1)?(x?1)2?1 ∴f(x)?x2?1 (x≥1)

例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？

x?1≥1