高一数学必修一典型题(5)

↗ y?f(g(x))↘ 增 减 ↘ ↗ 减 ↘ ↘ 增 ↗ ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 证明：①设x1,x2?(a,b)，且x1?x2 ∵u?g(x)在(a,b)上是增函数， ∴g(x1)?g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)

∵y?f(u)在(m,n)上是增函数，∴f(g(x1))?g((x2)). 所以复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)上是增函数 ②设x1,x2?(a,b)，且x1?x2，∵u?g(x)在(a,b)上是增函数， ∴g(x1)?g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)

∵y?f(u)在(m,n)上是减函数，∴f(g(x1))?g((x2)). 所以复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)上是减函数 ③设x1,x2?(a,b)，且x1?x2，∵u?g(x)在(a,b)上是减函数， ∴g(x1)?g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)

∵y?f(u)在(m,n)上是增函数，∴f(g(x1))?g((x2)). 所以复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)上是减函数 ④设x1,x2?(a,b)，且x1?x2，∵u?g(x)在(a,b)上是减函数， ∴g(x1)?g(x2)，且g(x1),g(x2)?(m,n)

∵y?f(u)在(m,n)上是减函数，∴f(g(x1))?g((x2)).

所以复合函数y?f(g(x))在区间(a,b)上是增函数 例2．求函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2的值域，并写出其单调区间

解：题设函数由y?8?2u?u2和u?2?x2复合而成的复合函数， 函数u?2?x2的值域是(??,2]， 在

y?8?2u?u2?9?(u?1)2(??,2]上的值域是(??,9].

故函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2的值域是(??,9].

对于函数的单调性，不难知二次函数y?8?2u?u2在区间(??,1)上是减函数，在区间[1,??)上是增函数；

二次函数u?2?x区间(??,0)上是减函数，在区间[0,??)上是增函数 2当u?(??,1)时，2?x2?(??,1)，即2?x2?1，x??1或x?1. 当u?[1,??)时，2?x2?[1,??)，即2?x2?1，?1?x?1.

yy

uu?2?x2xy?8?2u?u2uy?8?2(2?x2x)?(2?x2)2因此，本题应在四个区间(??,?1)，[?1,0)，[0,1)，[1,??)上考虑 ① 当x?(??,?1)时，u?2?x2?(??,1)，

而u?2?x2在(??,?1)上是增函数，y?8?2u?u2在(??,1)上是增函

数，所以，函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2在区间(??,?1)上是增函数 ②当x?[?1,0)时，u?2?x2?[1,??)，

而u?2?x2在[?1,0)上是增函数， y?8?2u?u2在[1,??)上是减函数，所以，函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2在区间[?1,0)上是减函数 ③当x?[0,1)时，u?2?x2?(1,??)，

而u?2?x2在[0,1)上是减函数，y?8?2u?u2在(1,??)上是减函数， 所以，函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2在区间[0,1)上是增函数 ④当x?[1,??)时，u?2?x2?(??,1]，

而u?2?x2在[1,??)上是增函数，y?8?2u?u2在(??,1]上是减函数，所以，函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2在区间[1,??)上是减函数 综上所述，函数y?8?2(2?x2)?(2?x2)2在区间(??,?1)、[0,1)上是增函数；在区间[?1,0)、(??,1]上是减函数 另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字） 分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y 经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;

3.510.532.521.5经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;

??

一般地，经过x年，剩留量 y=0.84x

10.50-0.51122334455根据这个函数关系式可以列表如下： x y 0 1 84 1 0.71 2 0.59 3 0.50 4 0.42 5 0.35 6 0.用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半 评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现 例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小： ①1.72.5，1.73； ②0.8?0.1，0.8?0.2； ③1.70.3，0.93.1 解：利用函数单调性

①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们看成函数 y=1.7x，当x=2.5和3时的值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R

-2-154.5可以函数是增

12345643.5f?x? = 1.7x2.521.5130.5-0.5

函数，而2.5<3，所以，1.72.5<1.73；

1.8②0.8?0.1与0.8?0.2的底数是0.8，它

f?x? = 0.8x1.6们

1.41.2可以看成函数 y=0.8x，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所

-1.5-1-0.510.80.60.4以

0.510.2函数y=0.8x在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，0.8?0.1<0.8?0.2；

-0.2③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1；

0.93.1<1；1.70.3>0.93.1

3.23.2332.82.82.62.62.42.42.222.221.81.8f?x? = 0.9xf?x? = 1.7x1.61.61.41.21.41.2110.80.80.60.40.60.40.20.2-2-1.5-1-0.5-0.20.511.522.5-0.5-0.20.511.522.533.54-0.4-0.4 小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

例1求下列函数的定义域、值域： ⑴y?0.41x?1 ⑵y?35x?1 ⑶y?2x?1 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围 解（1）由x-1≠0得x≠1

1 所以，所求函数定义域为{x|x≠1} ?0x?1