工程流体力学习题解析杨树人(11)

第五章 量纲分析与相似原理

一、学习引导

1．量纲

是指物理量的性质和种类。量纲公式为

[x]?[LTM]

2．基本量纲和导出量纲

量纲是相互独立的，不能由其它量纲导出的量纲称为基本量纲。其它物理量的量纲可由这些基本量纲按照其定义或者物理定律推导出来，称为导出量纲。 3．无量纲量 若某物理量的量纲表示为[x]= [L0T0M0]=[1]，则称x为无量纲量，也称纯数。 4．量纲和谐原理

一个正确、完整地反映客观规律的物理方程中，各项的量纲是一致的，这就是量纲和谐原理，或称量纲一致性原理。

5．相似准数与相似准则

在两个动力相似的流动中的无量纲数称为相似准数，例如雷诺数。作为判断流动是否动力相似的条件称为相似准则。

αβγ二、难点分析

1．无量纲数的特点

（1）无量纲数没有单位，它的数值与所选用的单位无关。

（2）在两个相似的流动之间，同名的无量纲数相等。如Re，常用无量纲数作为流动是否实现粘性的相似判据。

（3）在对数、指数、三角函数等超越函数运算中，都必须是对无量纲来说的，而对有量纲的某物理量取对数是无意义的。 2．量纲分析方法的应用 （1）瑞利法 （2）π定理

瑞利法对涉及物理量的个数少于5个的物理现象的是非常方便的，对于涉及五个以上（含5个）变量的物理现象虽然也是适用的，但不如π定理方便。 3．相似原理 （1）几何相似 指两个流动对应的线段成比例，对应角度相等，对应的边界性质（指固体边界的粗糙度或者自由液面）相同。

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（2）运动相似

是指两个流动对应点处的同名运动学量成比例。 （3）动力相似

是指两个流动对应点上的同名动力学量成比例。即

?F=FpFm?GpGm?TpTm?PpPm?EpEm

4．相似准则

（1）重力相似准则

作用在流体上的合外力中重力起主导作用，此时有

Frp?Frm

其中：Fr=v/gl称为弗劳德数，其物理意义是惯性力和重力的比值。

（2）粘性力相似准则

作用在流体上的合外力中粘性力起主导作用，此时有

Rep?Rem

其中：Re=ρvdμ=vdυ称为雷诺数，其物理意义是惯性力与粘性力的比值。

（3）压力相似准则

作用在流体上的合外力中压力起主导作用，此时有

Eup?Eum

其中：Eu=p/ρv2称为欧拉数，其物理意义是压力与惯性力的比值。 5．雷诺模型

要求原型和模型的雷诺数相等，即Rep=Rem。一般来讲，设计完全封闭的流场内的流动（如管道、流量计、泵内的流动等）或物体绕流（潜水艇、飞机和建筑物的绕流等）的实验方案设计，应采用雷诺模型。

6．弗劳德模型

要求原型和模型的弗劳德数相等，即Frp=Frm。一般来讲，设计与重力波有关（如波浪理论、水面船舶兴波阻力理论、气液两相流体力学等）的实验方案设计，应采用弗劳德模型。

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习题详解

【5－1】试用量纲分析法分析自由落体在重力影响下降落距离s的公式为s＝kgt2，假设s和物体质量m、重力加速度g和时间t有关。

【解】应用瑞利法

（1）分析物理现象，假定

s?kmx1gx2tx3

或

（2）写出量纲方程

[s]?k[mx1][gx2][tx3]

[L]?[1][Mx1][Lx2T?2x2][Tx3]

（3）利用量纲和谐原理确定上式中的指数

?1?x2??0??2x2?x3 ?0?x?1?x1?0??x2?1 ?x?2?3解得

回代到物理方程中得

s?kgt2

【5－2】检查以下各综合数是否为无量纲数：

ρQρLΔp?LQΔpQρQ?2。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）222ΔpLΔp?QρρLΔpL

【解】

（1）展开量纲公式

ΔpQL?1T?2M1L3T?12[]?[?3][2]?[L2T?2] 2ρLLML为有量纲量。

（2）展开量纲公式

ρQ[L?3M][L3T?1]?1[]??[L] ΔpL2[L?1T?1M][L2]为有量纲量。

（3）展开量纲公式

ρL[L?3M][L][]??1?2?[L?7T4] 26?2Δp?Q[LTM][LT]为有量纲量。

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（4）展开量纲公式

ΔpLQ[L?1T?2M][L][L3T?1][]??[L6T?3] ?3ρ[LM]为有量纲量。 （5）展开量纲公式

ρQL?3M1L3T?12[]?[?1?2][2]?[1] ΔpL2LTML为无量纲数。

【5－3】假设泵的输出功率是液体密度ρ，重力加速度g，流量Q，和扬程H的函数，试用量纲分析法建立其关系。 【解】利用瑞利法，取比重γ=ρg

（1）分析物理现象，假定

N泵?k?x1Qx2Hx3

或

[L2T?3M]?[1][L?2x1T?2x1Mx1][L3x2T?x2][Lx3]

（3）利用量纲和谐原理确定上式中的指数

?2??2x1?3x2?x3? ??3??2x1?x2?1?x1??x1?1??x2?1 ?x?1?3（2）写出量纲方程

[N]?k[?x1][Qx2][Hx3]

解得

回代到物理方程中得

N泵?k?QH?k?gQH

【5－4】假设理想液体通过小孔的流量Q与小孔的直径d，液体密度ρ以及压差?p有关，用量纲分析法建立理想液体的流量表达式。

【解】利用瑞利法

（1）分析物理现象，假定

Q?kdx1?x2?px3

或

（2）写出量纲方程

[Q]?k[dx1][?x2][?px3]

[L3T?1]?[1][Lx1][L?3x2Mx2][L?x3T?2x3Mx3]

（3）利用量纲和谐原理确定上式中的指数

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?3?x1?3x2?x3? ??1??2x3?0?x?x23?解得

?x1?2??x2??1/2 ?x?1/2?3回代到物理方程中得

?【5－5】有一直径为D的圆盘，沉没在密度为ρ的液池中，圆盘正好沉于深度为H的池底，用量纲分析法建立液体作用于圆盘面上的总压力P的表达式。

【解】利用π定理 （1）分析物理现象

f(P,?,g,H,D)?0

（2）选取H、g、ρ为基本量，它们的量纲公式为

101?2[H]?[LTM0]，[g]?[LTM0]，[?]?[L?3T0M1]

其量纲指数的行列式为

1001?20??2?0 ?301Q?kd2?p所以这三个基本物理量的量纲是独立的，可以作为基本量纲。 （3）写出5－3＝2个无量纲π项

PD?1?a1b1c2，?2?a2b2c2

Hg?Hg? （4）根据量纲和谐原理，可确定各π项的指数，则

PD?1?3，?2?

Hg?H （5）无量纲关系式可写为

PDF(3,)?0 Hg?HPDD(2),?] 0或 F[2Hg?DHH总压力

D1D1P?F1()Hg?D2?F2()?gHD2???gHD2

H(D)2H4H【5－6】用一圆管直径为20cm，输送υ=4×10-5m2/s的油品，流量为12 l/s。若在实验室内用5cm直径的圆管作模型试验，假如采用（1）20℃的水，（2）υ=17×106m2/s

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