课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、(9)

【解】 (1)如图所示，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接BF、FH、AH，则FH11

綊2ED，又AB＝2ED，

∴FH綊AB，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH， 又因为BF?平面ACD，AH?平面ACD， ∴BF∥平面ACD.

(2)取AD中点G，连接CG.

因为AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB，又CG⊥AD，

∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C—ABED的高，求得CG＝3， 1?1＋2?

∴VC—ABED＝3·2·2·3＝3.

18．(本小题满分12分)(2013·黄冈模拟)如图6，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.

(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C； (2)若AB＝2，求三棱柱ABC—A1B1C1的体积．

图6

【解】 (1)由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1. 又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C， 又AB?平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.

(2)由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1.

33

由(1)知，CO⊥平面AA1B1B，且CO＝2BC＝2AB＝3. 1123

连结AB1，则VC—ABB1＝3S△ABB1·CO＝6AB2·CO＝3. 123因为VB1—ABC＝VC—ABB1＝3VABC—A1B1C1＝3， 故三棱柱ABC—A1B1C1的体积VABC—A1B1C1＝23.

19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋2.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

1－?－1?n1＋?－1?n

(2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前2n项和T2n.

22【解】 (1)当n＝1，a1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1.

∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，∴an＝2n. 由bn＋1＝bn＋2，得{bn}是等差数列，公差为2. 又首项b1＝1，∴bn＝2n－1.

n

?2 n为奇数，(2)cn＝?

－?2n－1? n为偶数，?

∴T2n＝2＋23＋?＋22n－1－[3＋7＋?＋(4n－1)] 22n＋1－22

＝－2n－n.

3

20．(本小题满分13分)如图7所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.

图7

(1)求证：平面MOE∥平面PAC. (2)求证：平面PAC⊥平面PCB.

(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．

【解】 (1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA.

因为PA?平面PAC，OE?平面PAC， 所以OE∥平面PAC. 因为OM∥AC，

因为AC?平面PAC，OM?平面PAC， 所以OM∥平面PAC.

因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC.

(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上， 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC. 因为PA⊥平面BAC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC.

因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 因为BC?平面PCB， 所以平面PAC⊥平面PCB.

(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C—xyz.

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2， 所以CB＝2cos 30°＝3，AC＝1. 延长MO交CB于点D. 因为OM∥AC，

13所以MD⊥CB，MD＝1＋2＝2， 13CD＝2CB＝2.

?3?3

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M?，，0?.

?22?→＝(1,0,2)，CB→＝(0，3，0)．

所以CP

设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)． →＝0，??m·CP

因为?

→?CB＝0.?m·

?1，0，2?＝0，??x，y，z?·?x＋2z＝0，

所以?即?

?0，3，0?＝0，??x，y，z?·?3y＝0.令z＝1，则x＝－2，y＝0. 所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，3，1)． 1m·n

所以cos〈m，n〉＝|m|·＝－|n|5. 1

因为二面角M—BP—C为锐二面角，所以cos θ＝5.

图8

21．(本小题满分14分)(2013·天津高考)如图8，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值；

2(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6，求线段AM的长．

【解】 如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

→→CE→＝0，所以

(1)证明：易得B→1C1＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1－1)，于是B1C1·B1C1⊥CE.

→(2)B1C＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

→??m·B?x－2y－z＝0，1C＝0，?则即?消去x，得y＋2z＝0，

→－x＋y－z＝0.??CE＝0，?m·

不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1， 可得B1C1⊥平面CEC1，

故B→1C1＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

－4－27m·B→1C1→

于是cos〈m，B1C1〉＝＝＝7，从而sin〈m，B→1C1〉→14×2|m||B1C1|