课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、(4)

【解析】 ∵(2a＋b)·b＝0， ∴2a·b＋b2＝0， 1∴a·b＝－2b2，

设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|， 1

－2b2

a·b1

∴cos θ＝|a||b|＝|a||b|＝－2， ∴θ＝120°. 【答案】 120°

12．(2013·江西高考)设f(x)＝3sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．

【解析】 由于f(x)＝3sin 3x＋cos 3x＝

π?π?????

3x＋3x＋?≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2. 2sin?，则|f(x)|＝2?sin?6?6???????【答案】 [2，＋∞)

π

13．设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．

【解析】 由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，

12

所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e1＋6e1·e2＝2＋6×2＝5， a·b5所以a在b方向上的射影为|a|·cos＝|b|＝2. 5【答案】 2

14．(2013·北京高考)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________． 有满足AP

→＝(2,1)，AC→＝(1,2)．

【解析】 设P(x，y)，且AB

→＝OA→＋AP→＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)， ∴OP

?x＝1＋2λ＋μ，?3μ＝2y－x＋3，∴?∴? ?y＝－1＋λ＋2μ，?3λ＝2x－y－3，

又1≤λ≤2,0≤μ≤1，

?0≤x－2y≤3，∴?表示的可行域是平行四边形及内部． ?6≤2x－y≤935

如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的距离d＝5.又|BN|＝5.

35

∴区域D的面积S＝5×5＝3. 【答案】 3

1

15．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝3，则sin∠BAC＝________.

122

【解析】 因为sin∠BAM＝3，所以cos∠BAM＝3.在△ABM中，利用正BMAMBMsin∠BAM11

弦定理，得＝sin B，所以AM＝sin B＝3sin B＝.

sin∠BAM3cos∠BAC

CM

在Rt△ACM中，有AM＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以

1

＝sin(∠BAC－∠BAM)．

3cos∠BAC

化简，得22sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 22tan∠BAC－1所以＝1，解得tan∠BAC＝2.

tan2∠BAC＋1

6

再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝3. 6

【答案】 3

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

π

16．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx－6)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，

π

其图象相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数f(x)的解析式；

πα

(2)设α∈(0，2)，f(2)＝2，求α的值． 【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A＋1＝3，即A＝2.

π

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2， ∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，

π

∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－6)＋1. απ

(2)∵f(2)＝2sin(α－6)＋1＝2， π1

∴sin(α－6)＝2. π

∵0<α<2， πππ∴－6<α－6<3， πππ∴α－6＝6，∴α＝3.

17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，

(1)求cos A的值； (2)求c的值．

【解】 (1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A， 326所以在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin 2A. 所以

2sin Acos A266

＝.故cos A＝

sin A33. 63

(2)由(1)知cos A＝3，所以sin A＝1－cos2A＝3. 1

又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cosA－1＝3.

2

22

所以sin B＝1－cos2B＝3. 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋ 53

cos Asin B＝9. asin C

所以c＝sin A＝5.

π??

18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cos?x－12?，x∈R.

???π?(1)求f?－6?的值；

??

π?3?3π??

(2)若cos θ＝5，θ∈?2，2π?，求f?2θ＋3?.

????π??

【解】 (1)因为f(x)＝2cos?x－12?，

???π??ππ?所以f?－6?＝2cos?－6－12?

????π2?π?

＝2cos?－4?＝2cos 4＝2×2＝1.

??3?3π?

(2)因为θ∈?2，2π?，cos θ＝5，

??所以sin θ＝－1－cos2θ＝－

4?3?

1－?5?2＝－5， ??

7?3?cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×?5?2－1＝－25，

??3?4?24

sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×5×?－5?＝－25.

??π?ππ???

所以f?2θ＋3?＝2cos?2θ＋3－12?

????

π??2?2?

＝2cos?2θ＋4?＝2×?cos 2θ－sin 2θ?

??2?2?7?24?17

＝cos 2θ－sin 2θ＝－25－?－25?＝25.

??

3x3xxx

19．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos 2，sin 2)，b＝(－sin 2，－cos 2)，π

其中x∈[2，π]．

(1)若|a＋b|＝3，求x的值；

(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围． 3xx3xx【解】 (1)∵a＋b＝(cos 2－sin 2，sin 2－cos 2)， ∴|a＋b|＝

3xx3xx?cos 2－sin 2?2＋?sin 2－cos 2?2＝2－2sin 2x，

1

由|a＋b|＝3，得2－2sin 2x＝3，即sin 2x＝－2. π

∵x∈[2，π]，∴π≤2x≤2π.

ππ7π11π

因此2x＝π＋6或2x＝2π－6，即x＝12或x＝12. 3xx3xx

(2)∵a·b＝－cos 2sin 2－sin 2cos 2＝－sin 2x， ∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x， ∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0， ∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5. 又c>f(x)恒成立， 因此c>[f(x)]max，则c>5.

∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．

20．(本小题满分13分)(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值． 【解】 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得

2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0. 1

解得cos A＝2或cos A＝－2(舍去)． π

因为0

(2)由S＝2bcsin A＝2bc·2＝4bc＝53，得bc＝20. 又b＝5，所以c＝4.