课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、(5)

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝21. bcbc22035

又由正弦定理，得sin Bsin C＝asin A·sin A＝sinA＝2·aa21×4＝7.

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． 【解】 (1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)， ∴b＝d＝2.

∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4. ∵g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， ∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，则F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)， 由题设可得F(0)≥0，故k≥1， 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2， ①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0， 从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)＜0， 当x∈(x1＋∞)时，F′(x)＞0，

2即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x1－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，

此时f(x)≤kg(x)恒成立；

②若k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)， 故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增， 因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；

③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0， 从而当x∈[－2，＋∞)时， f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上所述k的取值范围为[1，e2]．

滚动检测(三) 数列、推理与证明

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于( )

A．[0，＋∞) B．[0,1) C．(1，＋∞)

D．(0,1]

【解析】 由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，

所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C. 【答案】 C

2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题， 则( ) A．命题p、q均为假命题 B．命题p、q均为真命题

C．命题p、q中至少有一个是真命题 D．命题p、q中至多有一个是真命题

【解析】 命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.

【答案】 D

3．(2013·宁波模拟)等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为( )

A．7 B．8 C．9 D．10

13?a1＋a13?【解析】 由S13＝＝0得a1＋a13＝2a7＝0，所以a7＝0，又a1＝

2－12，故n≥8时，an＞0.

【答案】 B

4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

1A.3 1C.9

1B．－3 1D．－9 【解析】 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，

2

?a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，?a1q＝9a1，∴?4∴?4 aq＝9，aq＝9，?1?1

1

解得a1＝9，故选C. 【答案】 C

5．下列函数中与函数y＝－3|x|奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )

1A．y＝－x C．y＝1－x2

B．y＝log2|x| D．y＝x3－1

【解析】 函数y＝－3|x|是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C

4

6．(2013·大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－3，则{an}的前10项和等于( )

A．－6(1－3

－10

)

1

B.9(1－3－10) D．3(1＋3－10)

C．3(1－3－10)

an＋111

【解析】 由3an＋1＋an＝0，得a＝－3，故数列{an}是公比q＝－3的等比n??1??4?1－?－3?10?????4－10

数列．又a2＝－3，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3).

?1?1－?－3???

【答案】 C

7．已知向量a、b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为( )

A．48 B．32 C．1 D．0

【解析】 b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D

1x?1??2??2 013?8．已知f(x)＝2 013＋log2，则f?2 014?＋f?2 014?＋?＋f?2 014?的值为

??????1－x( )

A．1

B．2 C．2 013 D．2 014

2

【解析】 对任意0＜x＜1，可得f(x)＋f(1－x)＝2 013. ?1??2??2 013?

设S＝f?2 014?＋f?2 014?＋?＋f?2 014?

???????2 013??2 102??1?

则S＝f?2 014?＋f?2 014?＋?＋f?2 014?

????????1??2 013????2?于是2S＝?f?2 014?＋f?2 014??＋?f?2 014?＋

?????????

?2 012???2 013??1?

f?2 014??＋?＋[f?2 014?＋f?2 014?] ???????

2

＝2 013×2 013＝2，所以S＝1. 【答案】 A

9．在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于( )

A．4 C．6

B．5 D．7

【解析】 在等比数列中，a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，a1?1－qn?a1－qan2－32q

an＝32或a1＝32，an＝2.当a1＝2，an＝32时，Sn＝＝＝＝1－q1－q1－q62，解得q＝2，又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理当a1＝32，11?1??1??1?an＝2时，由Sn＝62解得q＝2，由an＝a1qn－1＝32×?2?n－1＝2，得?2?n－1＝16＝?2???????

4

，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.

【答案】 B

10．(2013·东城模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈

N*)的个位数，则a2 013的值是( )

A．8

B．6 C．4 D．2

【解析】 a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4,4×7＝28，所以a4＝8,4×8＝32，所以a5＝2,2×8＝16，所以a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，所以从第三项起，an成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a2 013＝a3＝4，故选C.

【答案】 C

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

?255?

11．已知角α的终边与单位圆交于点?－则sin 2α的值为________． ，?，

55??525

【解析】 由已知得sin α＝5，cos α＝－5， 5?25?4

?＝－. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×5×?－

55??4

【答案】 －

5

x

12．由直线y＝2与函数y＝2cos22(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．

x

【解析】 y＝2cos22＝cos x＋1，则所求面积为

2π

S＝∫2π0[2－?cos x＋1?]dx＝(x－sin x)|0＝2π.

【答案】 2π

13．(2013·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝csin C，b2＋c2－a2＝3bc，则角B＝________.

222

b＋c－a3222

【解析】 由b＋c－a＝3bc得cos A＝.

2bc＝2，所以A＝30°

由acos B＋bcos A＝csin C得 sin Acos B＋cos Asin B＝sin2C， 即sin(A＋B)＝sin2C，