课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、(2)

【答案】 2

13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.

【解析】 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1， ∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3. 因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 【答案】 －1

?log2?1－x?，x≤0，

14．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?

f?x－1?－f?x－2?，x＞0，?则f(2 013)＝________.

【解析】 当x＞0时，∵f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，

∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)， ∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时， 函数f(x)的周期是6.

又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)， 由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0， f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1， f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0， ∴f(2 013)＝0. 【答案】 0

15．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．

【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，所以a∈(－1,0)．

【答案】 (－1,0)

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝125

{y|y＝2x－x＋2，0≤x≤3}．

(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；

(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(?RA)∩B. 【解】 A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．

2

?a＋1≥4，

(1)当A∩B＝?时，?

?a≤2，

∴3≤a≤2或a≤－3.

∴a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0， 依题意Δ＝a2－4≤0， ∴－2≤a≤2. ∴a的最小值为－2.

当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}． ∴?RA＝{y|－2≤y≤5}． ∴(?RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围． 【解】 (1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，x∈R， 即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，

∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立， ∴k＝－1.

(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x， 即2x＋k·2－x＞2－x成立，

∴1－k＜22x对x≥0恒成立， ∴1－k＜(22x)min，

∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增， ∴(22x)min＝1， ∴k＞0.

∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．

ln x

18．(本小题满分12分)(2013·北京高考)设L为曲线C：y＝x在点(1,0)处的切线．

(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方． 1－ln xln x

【解】 (1)设f(x)＝x，则f′(x)＝x2. 所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.

(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x2－1＋ln x

g′(x)＝1－f′(x)＝.

x2当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

1

19．(本小题满分12分)(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝3ax3＋(a－2)x＋c的图象如图2所示．

图2

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝

kf′?x?

x－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

【解】 (1)∵f′(x)＝ax2＋a－2，

由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0. ?c＝3，?c＝3，得?即? ?2a－2＝0，?a＝1.1

∴f(x)＝3x3－x＋3. (2)∵g(x)＝

kf′?x?k

－2ln x＝kx－xx－2ln x，

2

k2kx＋k－2x

∴g′(x)＝k＋x2－x＝.

x2∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx2＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．

2x

即k≥2在区间(0，＋∞)上恒成立．

x＋1令h(x)＝则h(x)＝

2x

，x∈(0，＋∞)， x＋1

22x2

＝1≤1(当且仅当x＝1时取等号)． x＋1

x＋x

2∴k≥1.

∴实数k的取值范围是[1，＋∞)．

20．(本小题满分13分)(2013·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中??128x＋20?x?

?k元．假设座位等距分布，且至少有两个一个座位的总费用为?2＋

25??座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．

(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域； (2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

kk

【解】 (1)设转盘上总共有n个座位，则x＝n即n＝x， 3k2??128x＋20?x?k2

?， y＝x＋?2＋

25??x

???kk

?定义域x?0＜x≤2，x∈Z???

??

?. ??

(2)y＝f(x)＝k?＋

?x

2?5

?128x＋20??

?，

25?25k2，令y′＝0得x＝16. y′＝

3

－125＋64x2

25x

225?25???

当x∈?0，16?时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈?0，16?上单调递减，

?????25??25?，25??当x∈16时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈?16，25?上单调递增， ????2550

y的最小值在x＝16时取到，此时座位个数为25＝32个．

16

1

21．(本小题满分14分)(2013·鄂州模拟)已知函数f(x)＝3x3－ax＋1. (1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值； (2)求f(x)在[0,1]上的最小值；

(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．

【解】 (1)因为f′(x)＝x2－a，

当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1. 又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意． (2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1， 当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a， 当0＜a＜1时，a＜1，

x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，