课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、(8)

【解析】 因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l. 因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．

因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确． 因为AB∥l，l?β，AB?β. 所以AB∥β.故C也正确．

因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．

【答案】 D

8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A．πa2 11

C.3πa2

7B.3πa2 D．5πa2

【解析】 设球心为O，正三棱柱上底面为△ABC，中心为O′，因为三棱a3

柱所有棱的长都为a，则可知OO′＝2，O′A＝3a，又由球的相关性质可知，21

球的半径R＝OO′2＋O′A2＝6a，

7

所以球的表面积为4πR2＝3πa2. 【答案】 B

9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

→，AA→的方向分别为y轴和z轴的正方向建【解析】 以A为坐标原点，AC1立空间直角坐标系．

设底面边长为2a，侧棱长为2b，

则A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B(3a，a,0)，C1(0,2a,2b)，B1(3a，a,2b)． →⊥BC→，得AB→·→22由AB111BC1＝0，即2b＝a.

设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量， →＝0，n·→则n1·DB1DC1＝0.

?3ax＝0，即?又2b2＝a2，令z＝1， ?ay＋2bz＝0.解得n1＝(0，－2，1)．

同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝(1，3，0)． |n1·n2|2

利用公式cos θ＝|n||n|＝2，得θ＝45°.

12【答案】 B

10．(2013·成都模拟)已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )

A．1 B.3 C．2 D．3

2

【解析】 如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则2a＝12－h2，即a2＝2(12－h2)，

122

所以V＝3×a2×h＝3h(12－h2)＝－3(h3－12h)， 令f(h)＝h3－12h，则f′(h)＝3h2－12(h＞0)，

令f′(h)＝0，则h＝2，此时f(h)有最小值，V有最大值． 【答案】 C

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

π??ωx＋?11．已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f(0)＝3，6???则函数f(3)＝________.

2ππ

【解析】 ω＝2＝π，由f(0)＝Asin6＝3得A＝23， π?π???

所以f(x)＝23sin?πx＋6?，所以f(3)＝23sin?3π＋6?＝－3.

????【答案】 －3

12．(2013·南通模拟)关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题： ①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n； ②若m∥n，m?α，n⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β； ④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β. 其中假命题的序号是________．

【解析】 命题①m与n也可相交或异面，所以①是假命题；命题②由条件可得m⊥β，又m?α，故α⊥β，所以②是真命题；命题③也可得到n?α或n?β，所以③错；命题④由已知只能得到n垂直α与β内的一条直线，无法判定n⊥α或n⊥β，所以命题④错．

【答案】 ①③④

13．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图3所示，则其体积为________．

图3

【解析】 原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为1，高为2， 11π

∴其体积为3×π×12×2×2＝3. π

【答案】 3

14．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3 23＝3＋5 32＝1＋3＋5 33＝7＋9＋11

42＝1＋3＋5＋7 43＝13＋15＋17＋19 52＝1＋3＋5＋7＋9 53＝21＋23＋25＋27＋29

根据上述分解规律，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为________．

【解析】 由所给等式知，m3分解中第1个数为数列3,5,7，?中第2＋3＋4m2－m

＋?＋(m－1)＋1项，即2项，从而m3分解中第1个数为m2－m＋1，由m2－m＋1＝73得m＝9.

【答案】 9

15．(2013·南昌模拟)三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

图4

①异面直线SB与AC所成的角为90°. ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； 1④点C到平面SAB的距离是2a. 其中正确结论的序号是________．

【解析】 由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，1

故CE的长度即为C到平面SAB的距离2a，④正确．

【答案】 ①②③④

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2013·深圳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的

边长分别是a，b，c.

π

(1)若c＝2，C＝3且△ABC的面积等于3，求cos(A＋B)和a，b的值； 312

(2)若B是钝角，且cos A＝5，sin B＝13，求sin C的值． π

【解】 (1)∵A＋B＋C＝π，C＝3，∴A＋B＝π－C， π1

∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－cos 3＝－2. 由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，

1

又因为△ABC的面积等于3，所以2absin C＝3，得ab＝4.

22

?a＋b－ab＝4，

联立方程组?

?ab＝4，

解得a＝2，b＝2.

312

(2)∵B是钝角，且cos A＝5，sin B＝13， ∴sin A＝1－cos2A＝ cos B＝－1－sinB＝－

2?3?41－?5?2＝5， ??5?12?2

1－?13?＝－13，

??

∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)

4?5?31216

＝sin Acos B＋cos Asin B＝5×?－13?＋5×13＝65.

??

17．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)在如图5所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.

图5

(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一结论；

(2)求多面体ABCDE的体积．