课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、(6)

所以sin C＝sin2C. 因为0°＜C＜180°， 所以sin C＝1， 即C＝90°， 所以B＝60°. 【答案】 60°

14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．

图1

【解析】 由已知得第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋?＋[2(n－2)＋?n－2?×2n21]＝3＋＝n－2n＋3.

2

【答案】 n2－2n＋3

15．(2013·孝感模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.

【解析】 设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an

－1

2＋an－2＝114，a6＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114得3an－1＝114，解得an－1＝38，

(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.

【答案】 16

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，?π?且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′?2?＝

??0.

(1)求数列{an}的通项公式；

1??

(2)若bn＝2?an＋2a?，求数列{bn}的前n项和Sn.

?n?

【解】 (1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x. 对任意n∈N*，f′(π

2)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由a1＝2，a2＋a4＝8解得{an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.

(2)由bn＝2?

?1??1?1?an＋2an??＝2??n＋1＋2n＋1??

＝2n＋2n＋2知，

1?

Sn?n＋1?2??1－?12?n??

?n＝b1＋b2＋?＋bn＝2n＋2·2

12＋1＝n＋3n＋1－2n. 1－2

17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，以始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A(－1,3)．

(1)若OA⊥OB，求tan α的值； (2)若B点横坐标为4

5，求S△AOB.

【解】 (1)由题可知：A(－1,3)，B(cos α，sin α)， OA

→＝(－1,3)，OB→＝(cos α，sin α)， 由OA⊥OB，得OA→·OB→＝0，

∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.

(2)∵cos α＝423，即B??43?5，∴sin α＝1－cosα＝5?5，5??，

∴OA→＝(－1,3)，OB→＝??43?5，5???

，

∴|OA|＝?－1?2＋?3?2＝10，|OB|＝1， →－1×4＋3×3得cos∠AOB＝OA·OB

→55

|OA→||OB→＝

|

10×1

＝1010，

∴sin∠AOB＝1－cos2∠AOB＝310

10，

Ox为113103

则S△AOB＝2|AO||BO|sin∠AOB＝2×10×1×10＝2. 18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋?＋an－1－an＝－1(n≥2且n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式an；

2

a2S2nn＋1＋an＋2

(2)令dn＝1＋loga(a＞0，a≠1)，记数列{d}的前n项和为S，若nn

5Sn

恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a和λ.

【解】 (1)由题知a1＋a2＋?＋an－1－an＝－1，① 所以a1＋a2＋?＋an－an＋1＝－1.②

an＋1

由①－②得：an＋1－2an＝0，即a＝2(n≥2)，

n当n＝2时，a1－a2＝－1， a2因为a1＝1，所以a2＝2，a＝2，

1

所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 故an＝2n－1(n∈N*)． (2)因为an＝2n－1，

22an＋1＋an＋2

所以dn＝1＋loga＝1＋2nloga2.

5

因为dn＋1－dn＝2loga2，

所以{dn}是以d1＝1＋2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列， 2n?2n－1?

×2loga22S2n所以S＝ n?n－1?n

n?1＋2loga2?＋2×2loga2

2n?1＋2loga2?＋

2＋?4n＋2?loga2＝＝λ 1＋?n＋1?loga2

?(λ－4)nloga2＋(λ－2)(1＋loga2)＝0， S2n因为S恒为一个与n无关的常数λ，

n

??λ－4?loga2＝0，所以?

??λ－2??1＋loga2?＝0，

1

解得λ＝4，a＝2. 19．(本小题满分12分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式． (2)设该生产线前n年的维护费用为Sn，求Sn.

【解】 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，

故an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.

当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%5

＝4的等比数列，

?5?n－7

则此时an＝16×?4?，

??2n＋2，n≤7，??

所以an＝? ?5?n－7

16×?4?，n≥8.????

n?n－1?

(2)当1≤n≤7时，Sn＝4n＋2×2＝n2＋3n， ?5?1－?4?n－7

??5

当n≥8时，由S7＝70，得Sn＝70＋16×4×

5 1－4?5?

＝80×?4?n－7－10，

??

所以该生产线前n年的维护费用为 n2＋3n，1≤n≤7，??Sn＝? ?5?n－7

80×?4?－10，n≥8.????

20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式． (2)求数列{an·bn}的前n项和Dn.

nπnπ(3)设cn＝an·sin22－bn·cos22(n∈N*)，求数列{cn}的前2n项和T2n. 【解】 (1)当n＝1时，a1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，

又点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2， 所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1. (2)由(1)知an·bn＝(2n－1)×2n，

所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋?＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，① 2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋?＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.② ①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋?＋2×2n－(2n－1)×2n＋1 4?1－2n－1?＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1

1－2＝(3－2n)2n＋1－6， 则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6.

n

?2， n为奇数，(3)cn＝?

?－?2n－1?， n为偶数，

T2n＝(a1＋a3＋?＋a2n－1)－(b2＋b4＋?＋b2n) ＝2＋23＋?＋2

2n－1

22n＋1－22

－[3＋7＋?＋(4n－1)]＝－2n－n.

3

?1?21．(本小题满分14分)(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－?2???

n－1

＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.

(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．

??n＋1??

(2)设数列?an?的前n????

5n

n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞. 2n＋1

(3)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn.