2015中考数学试题分类 多边形与平行四边形（含解析）(7)

(1）求证；∠EDB=∠EBD；

(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．

考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质． 分析： （1）由折叠和平行线的性质易证∠EDB=∠EBD；

(2）AF∥DB；首先证明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根据三角形内角和与等式性质可证明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD． 解答： 解：（1）由折叠可知：∠CDB=∠EDB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠CDB=∠EBD， ∴∠EDB=∠EBD； (2）AF∥DB； ∵∠EDB=∠EBD， ∴DE=BE，

由折叠可知：DC=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB， ∴DF=AB， ∴AE=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°， ∴2∠EDB+∠DEB=180°，

同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°， ∵∠DEB=∠AEF， ∴∠EDB=∠EFA， ∴AF∥DB．

点评： 本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键．

22. （2015?江苏南通，第25题8分）如图，在?ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD． （1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．

考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．. 专题： 证明题．

分析： （1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；

（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证． 解答： 证明：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB， ∴∠ADB=∠CBD， ∵ED⊥DB，FB⊥BD， ∴∠EDB=∠FBD=90°， ∴∠ADE=∠CBF， 在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB（ASA）； （2）作DH⊥AB，垂足为H， 在Rt△ADH中，∠A=30°， ∴AD=2DH，

在Rt△DEB中，∠DEB=45°， ∴EB=2DH，

∴四边形EBFD为平行四边形， ∴FD=EB， ∴DA=DF．

点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．

23. （2015?江苏宿迁，第23题8分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

考点： 平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．. 分析： （1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾． 解答： （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°， ∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE， 在△BEC与△FED中，

，

∴△BEC≌△FED， ∴BE=FE，

又∵E是边CD的中点， ∴CE=DE，

∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB=

=

=2

，

所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；

②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AG=BC=3，

所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2， 由勾股定理得，CG=

=

=

，

所以，四边形BDFC的面积=3×=3；

③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成了； 综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．

点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．