2015中考数学试题分类 多边形与平行四边形（含解析）(4)

∵AB⊥AC，AB=4，BC=2， ∴AC=6， ∴AO=3，

∴Rt△BAO中，BO=5， ∵四边形BEDF是矩形， ∴OE=OB=5，

∴点E在OA的延长线上，且AE=2．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

8.（2015?山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F． （1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由． （2）求证：BE=CD，BE⊥CD．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．. 专题： 证明题．

分析： （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；

（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．

解答： （1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AB=BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， ∴BD==BC=2BC， ∵G为BD的中点，

∴BG=BD=BC，

∴△CBG为等腰直角三角形， ∴∠CGB=45°， ∵∠ADB=45°， AD∥CG，

∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°， ∵∠ACB=90°，

∴∠CBD+∠ACB=180°， ∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC与△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE， ∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴CE=AB=AD，

在△BCE与△CAD中，

，

∴△BCE≌△CAD，

∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CBE+∠BCD=90°， ∴∠CFB=90°， 即BE⊥CD．

点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各

种定理是解答此题的关键．

9.（2015?山东泰安,第28题10分）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证： （1）DF=AE； （2）DF⊥AC．

考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．. 专题： 证明题．

分析： （1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC． 解答： 证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD． ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°， ∴AG=BG，DG⊥AB． ∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD． ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°． 又BF=BC， ∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS）， ∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O． ∵由（1）知，△AED≌△DFB， ∴∠AED=∠DFB，

，

∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°， ∴∠DO+∠EDO=90°，

∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

点评： 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 10．（2015?怀化，第17题8分）已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：

（1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD．

考点： 全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 专题： 证明题．

分析： （1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 解答： 证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE和△DBF中

，

∴△CDE≌△DBF （SAS）；

（2）∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DF=AE，DF∥AE，

∴四边形DEAF是平行四边形， ∵EF与AD交于O点， ∴AO=OD

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．

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11.（2015?温州第23题10分）23．（12分）（2015?温州）如图，抛物线y=﹣x+6x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B．过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF． （1）求点A，M的坐标．

（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？ （3）当BD=1时

①求直线MF的解析式，并判断点A是否落在该直线上．

②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3= 3：4：8 ．

考点： 二次函数综合题．.

分析： （1）在抛物线解析式中令y=0，容易求得A点坐标，再根据顶点式，可求得M点坐标；

（2）由条件可证明四边形OCFE为平行四边形，可求得EF的点，可求得F点坐标，可得出BE的长，再利用平行线的性质可求得BD的长；

（3）①由条件可求得F点坐标，可求得直线MF的解析式，把A点坐标代入其解析式可判断出A点在直线MF上；②由点的坐标结合勾股定理求得OE、GE、CD、DM、MF的长，再结合面积公式可分别表示出S1，S2，S3，可求得答案． 解答： 解：

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（1）令y=0，则﹣x+6x=0，解得x=0或x=6， ∴A点坐标为（6，0），

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又∵y=﹣x+6x=﹣（x﹣3）+9， ∴M点坐标为（3，9）； （2）∵OE∥CF，OC∥EF，

∴四边形OCFE为平行四边形，且C（2，0）， ∴EF=OC=2， 又B（3，0）， ∴OB=3，BC=1，

∴F点的横坐标为5，

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∵点F落在抛物线y=﹣x+6x上，