结构力学——6位移法

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§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法计算步骤示例 §6—4 位移法的典型方程

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§6—1 位移法的基本概念力法和位移法是分析超静定结构的两种基本 方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立 于上世纪初。 力法——以多余未知力为基本未知量 多余未知力为基本未知量，由位移 力法 多余未知力为基本未知量 条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。 位移法——以某些结点位移为基本未知量 结点位移为基本未知量，由 位移法 结点位移为基本未知量 平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算 内力。返回

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图a所示两跨等截面连续梁，在荷载作用 下发生变形。该连续梁由AB、BC两根杆件在B 点刚性连接组成，结点B为刚结点。

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根据转角位移方程： 根据转角位移方程：

根据结点B的力矩平衡条件： 根据结点B的力矩平衡条件： 将杆端弯矩代入上式的： 将杆端弯矩代入上式的：说明原结构在 结点B处产生 Z1的转角返回

所以： 所以：

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再将Z1代回杆端弯矩的 表达式得：

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无结点线位移刚架

Z1

刚架在荷载P作用下将发生如虚 2 1 Z1 在刚结点1处发生转 线所示的变形。 角Z1,结点没有线位移。则12杆可 P 以视为一根两端固定的梁(见图)。 1 1 2 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 Z1 Z1 求。同理， 13杆可以视为一根一端 EI=常数 固定另一端铰支的梁(见图)。 而 在固定端1处发生了转角Z1,其内 3 3 力同样由力法求出。 l l 2 2 可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1, 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。返回

P

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有结点线位移刚架一般情况下，刚架若干接点可能同 时发生转角和线位移。如图所示刚架 C、D两刚结点除分别发生转角Z1、 Z2外，还会产生同一水平线位移Z3, 只有同时求出这三个未知量，才能确 定全部杆端弯矩和剪力。 结点角位移仍列结点弯矩平衡方程：

结点线位移列有线位移的结构 部分的力的投影平衡方程：返回

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位移法计算原理的思路 (1)把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相 应的单跨超静定梁。使这些梁承受原有荷载，并在杆 端发生与实际情况相同的位移，据此写出各杆杆端内 力表达式。 (2)将各杆组合成原结构。此时，除考虑结构的 变形协调，即各杆的杆端位移与连接该杆的结点位移 相等外，还应考虑刚结点的力矩平衡条件及结构某些 部分的投影平衡条件(一般为横梁部分的剪力平衡条 件)。利用与基本未知量数量相同的方程求解未知结 点位移，这些方程称为

位移法基本方程。 注意： 转角位移方程+ 注意： 转角位移方程+固端力的应用返回

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§6—2 位移法基本未知量的确定位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。 一、 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目 结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。 结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目1 2 3

例如图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。

4

5

6

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角位移举例：B、C两个 刚结点， 有两个角 位移。 B为组合结点，它的左 右各有一个刚结点，有 两个角位移。 CD外伸部分是静定的 可以去掉。

EI趋于无 穷大杆的 角位移。

角位移基本未知量就是刚结点的转角， 角位移基本未知量就是刚结点的转角，其数目等于刚结 点的总数。 点的总数。返回

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二、独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a) △ △ 2 △ 1 3 4、5、6 三个固定 端 都是不动的 点，结点1、2、3均无竖向位移。 又因两根横梁其长度不变，故三个 P 结点均有相同的水平位移△ 。4 5 6

(b)

(a) 将结构的刚结点(包括固定支 事实上，图(a)所示结构的独立线位 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 则使其成为几何不变添加的最少 为了能简捷地确定出结构的独立线 链杆数，即为原结构的独立线位 返回 位移数目，可以 移数目(见图b)。

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线位移举例：

图c所示刚架，改为铰接体 系后，只需增设两根附加 链杆就能变成几何不变体 系(图d所示),只有一个 线位移。BC是静定的。 图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成 几何不变体系(图b所示),有两个角位移。返回

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三、位移法基本未知量的确定 位移法基本未知量数目应等于结构结点的独立角位移和 线位移二者之和。

五个角位移 两个线位移 七个基本未知量

两个角位移 一个线位移 三个几本未知量

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排架结构 结点3是一 组合

结点

图(a)所示排架，将其变成铰结体系后图(图b) , 需增加两根附加链杆的约束，才能成为几何不变体系， 故有两个线位移。 确定角位移时，要注意结点3是一个组合结点， 杆件2B 应视为23和3B两杆在3处刚性联结而成，故结点3处有 一转角，该排架的位移法基本未知量共有3个。返回