全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题(9)

大学自主招生数学试题

2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1

一．填空题 1．若f(x)?2．函数y?2?12?1x?1x?82xx，g(x)?f?13(x)，则g()?_______．2

514的最大值为__________．

3．等差数列中，5a8?3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________．20

1?254．复数|z|?1,若存在负数a使得z2?2az?a2?a?0，则a?________．5．若cosx?sinx?12

，则cos3x?sin3x?________．

1nn?1?(n?1)n1116

9106．数列?an?的通项公式为an?，则这个数列的前99项之和S99?_______．

47．(1?x)?(1?x)2?……?(1?x)98?(1?x)99中x3的系数为________．C100?3921225

8．数列?an?中，a0?0，a1??12，a2?6，a3??n34，a4?20，a5??(?1)n56a7??，a6?42，

78a8?72，，

此数列的通项公式为an?_______．

(?1)n(n?1)

9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为

__________．

23

222210．若曲线C1:x?y?0 与 C2:(x?a)?y?1的图像有3个交点，则a? ．?1

二．解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b． （１）a是否有可能比b高？ （２）a和b是否可能相等？ 1． 解：?1?不可能

① 若a、b为同一人，有a?b； ② 若a、b在同一行、列，则均有a?b；

③ 若a、b不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b所在行相交的人为x。

因为a为a、x列最矮的人，所以有a?x；

又因为b为b、x列最高的人，所以有b?x； 于是有a?x?b。

综上，不可能有a?b

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?2?有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,3……30，如图2所示：

此时有a?b?26．

2．已知函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是否有实数根？并证明你的结论． 解：没有.

法一： f(x)?x?ax2?(b?1)x?c?0无实数根， ??(b?12)?4ac?；0

f(f(x))?x?0．

a(ax?bx?c)?b(ax?bx?c)?c?x?0a(ax?bx?c)?ax?ax?b(ax?bx?c)?c?x?0． a(ax?bx?c?x)(ax?bx?c?x)?(b?1)ax?(b?1)x?c(b?1)?0．

2??ax2?(b?1)x?c??(b?1)?ax2?(b?1)x?c??0． a?ax?(b?1)x?c??????222222222222?ax2?(b?1)x?c??a2x2?a(b?1)x?b?c?1??0． ????于是有ax?(b?1)x?c?0或ax?a(b?1)x?ac?b?1?0．

?1?(b?1)?4ac?0； ?2?a(b?1)?4a(ac?b?1)

2 ?a2??(b?1)?22222224a?c??4?4a?2。 0故均不存在实数根。

法二：若a?0，则f(x)?x，

于是 f(f(x))?f(x)?x； 若a?0，则f(x)?x， 于是 f(f(x))?f(x)?x；

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所以f(f(x))?x没有实数根。

3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？ （２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？ 解：?1?乙专家

若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。

澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分

澳 中 0 卡 0 伊 0

3

3

0

3 1

0 3

3 0

3 3

12 10

3 1 0 3 3 10 0 3 0 0 0 3

假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。

?2?若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。

澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 3 0 3 3 3 12 卡 0 3 3 0 3 3 12 伊 0 0 0 0 0 0 0

假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！

故中国队至少得13分才可以确保出线。

4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设

u?(a,a2,a……13na，)v?(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数．

（１）u?(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?1； （２）u?(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?3；

0,0……0)，u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)， （３）令w?(0,?????n个0求证：d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．

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解：?1?5；

?2?C53?10；

对应项同时为1的项的个数为q，则对应项一个为1，?3?记u、v中对应项同时为0的项的个数为p，一个为0的项的个数为n?p?q；(p、q?N，p?q?n)．

d(u,w)即是u中1的个数，d(v,w)即是v中1的个数，d(u,v)是u、v中对应项一个为1，一个为0

的项的个数。

于是有d(u,v)?n?p?q

u、v中1一共有2q?(n?p?q)个，即d(u,w)?d(v,w)?n?p?q

所以有d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)?2q?0 于是d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．

5．曲线y?2px?p?0?与圆(x?2)2?y2?3交于A、B两点，线段AB的中点在y?x上，求p．

2解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立(x?2)2?y2?3与y2?2px，

得：x2?2(p?2)x?1?0． 知

x1?x22?2?p，x1x2?1；

222 y1?y2?(y1?y)2?2y1y2?2p(x? x)12 且y1?y2?x1?x2． 得y1y2?4(2?p)(1?p)．

2222 又y1y2?4px1x2?4p．

2 所以y1y2?2p?8?12p?4p

解得p?7?174或p?7?417（舍）．

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复旦大学2006年自主选拔录取申请资格测试试卷（B卷）

本试卷27页，满分为1000分；每题5分；考试时间为180分钟。

107．在（x2-

1x）10的展开式中系数最大的项是_________。

A．第4、6项 B．第5、6项 C．第5、7项 D．第6、7项

108．设函数y=? (x)对一切实数x均满足?（5+x）=?(5-x)，且方程?（x）=0恰好有6个不同的实根，则

这6个实根的和为______。 A．10 B．12 C．18 D．30 109．若非空集合X=｛x｜a+1≤x≤3a-5｝，Y=｛x｜1≤x≤16｝，则使得X?X∪Y成立的所有a的集合是_______。 A．｛a｜0≤a≤7｝ B．｛a｜3≤a≤7｝ C．｛a｜a≤7｝ D．空集

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110．设z为复数，E=｛z｜(z-1)=|z-1|｝，则下列_____是正确的 A．E={纯虚数} B．E={实数}

C．{实数}?E?{复数} …… 此处隐藏：2807字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……