全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题

大学自主招生数学试题

交通大学2000年保送生数学试题

一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填

在括号内)

1998

1．若今天是星期二，则3天之后是 ( )

A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机

的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )

A．

4813! B．

21613! C．

172813! D．

813!

( )

183．方程cos2x?sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是

A．m?18 B．m >?3 C．m >?1

2

D．?3?m?

4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是

A．pm

5．设f ’(x0)＝2，则limA．?2

h?0

B．p2m

f(x0?h)?f(x0?h)h

C．qm C．?4

1( ) D．q2m D．4

( )

B．2

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

1．设f(x)的原函数是x?1，则?f(2x)dx?__________．

02．设x?(0,?2)，则函数(sinx?21sinx2)(cosx?21cosx2)的最小值是__________．

3．方程3?16x?2?81x?5?36x的解x＝__________．

?????????__________． 4．向量a?i?2j在向量b?3i?4j上的投影(a)b5．函数y?2x?33x2的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．

22

7．方程7x?(k+13)x+k?k?2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等

可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）

1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1?a2???an?试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．

2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝?f(?x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．

第 1 页 共 52 页

32n，a1a2?an?n?12．

大学自主招生数学试题

3．(8分)求极限lim

?x2?bx?c,x?014．(10分)设f(x)??在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中

3x?0?lx?m,1?2???nnp?1pppn??(p?0)．

曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)

35．(8分)证明不等式：1?

sinx?cosx?24，x?[0,?2]．

6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是

命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

7．(11分)如图所示，设曲线y?1x12．若射手甲先射，谁先

y 上的点与x轴上的点顺次

构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y?1x上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形

B1 B2 O A1 A2 x 的面积之和是否存在．

第 2 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，

即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．sin2??sin2(???3)?sin(??2?3)＝______________．

3．lim[(n?2)log2(n?2)?2(n?1)log2(n?1)?nlog2n]＝_________________．

n??4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

2

5．正实数x,y满足关系式x?xy?4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车

给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光

学性质吗？请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于2arcsin求该棱锥的体积．(cos

4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．

求证：这四个点组成一个矩形．

第 3 页 共 52 页

12(32?6)，

?12?14(2?6))

大学自主招生数学试题

5．设(1?

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请

证明你的结论．

2)?xn?ynn2，其中xn,yn为整数，求n→∞时，

xnyn的极限．

第 4 页 共 52 页

大学自主招生数学试题

2000年交大联读班试题

1. 直线y?ax?b关于y??x的对称直线为_______________。

2. 已知a,b,c是?ABC的三边，a?1，b?c，且满足logb?ca?logc?ba?2logb?calogc?ba，则

?ABC是_______________的三角形。

83. 已知?3x?1??a8x8?a7x7???a1x?a0，则a8?a6?a4?a2?a0?_______________。 4. 已知f?x?满足：f?x?1??1?f1?f?x?，则f?x?的最小正周期是_______________。 ?x?5. 已知f?x?是偶函数， f?x?2?是奇函数，且f?0??1998，则f?2000??_______________。 6. a,b,c是?ABC的三边，且?b?c?:?a?c?:?a?b??4:5:6，则

sinA:sinB:sinC?_______________。

7. n是十进制的数，f?n?是n的各个数字之和，则使f?n??20成立的最小的n是

_______________。

sin?12?sin?cos7?12?_______________。

7?1238.

cos?129. 函数f?x??x?1?x2?3x?1?x2?x?R?的反函数是_______________。

10. 已知数列an?nkn（k是不等于1的常数），则a1?a2?a3???an?_______________。

11. 从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。（取

出的数不分先后） 12. 己知f?x?在x0处可导，则limf2?x0?3h??hf2?x0?h?h???_______________。

13. 已知x,y为整数，n为非负整数，x?y?n，则整点?x,y?的个数为_______________。 14. 抛物线y?x2?x?0?上，点A坐标为??,0?，抛物线在P点的切线与y轴及直线PA夹角

?3??1?相等，求点P的坐标。

15. 在?an?中，a1?4，an?an?1?6，①求证：an?3?16. 已知u?y2?x2，v?2xy，

①若点?x,y?在单位圆上以?0,1?为起点按顺时针方向转一圈，求点?u,v?的轨迹；

13an?1?3②求liman。

n??第 5 页 共 52 页