全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题(7)

大学自主招生数学试题

2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得

(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；

若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．y?

4．已知月利率为?，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于?的函数关

系式（假设贷款时间为2年）．

5．对于数列{an}：1,3,3,3,5,5,5,5,5,…，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都

有an?r?[n?s]?t恒成立（[x]表示不超过x的最大整数）．

ax?8x?bx?122的最大值为9，最小值为1，求实数a,b．

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大学自主招生数学试题

2005年复旦大学考试试卷

一、填空题：

1．A=x?R|log2?x2?x?1??0，B=?x?R|2x?21?x?1?，A?B=______ (BC表示B在R上的

C??补集)． 2．数x满足x?1x??1，求x300?1x300?_______．

3．求?=53sin??5cos?的圆心坐标，???0,2??

4．抛物线y?2x2?2ax?a2与直线y?x?1交于A和B两点，AB最大时, a=______． 5．limn???n?n?1?22n?n?1?________．

?6．求1+3+6+…＋

n(n?1)2?______．

7．一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为________． 8．求31000在十进制中最后4位_____________________． 9．定义在R上的函数f(x)（x?1)满足 f?x??2f?1?sinx2?cosx?x?2002???4015?x，则f(2004)?______．

x?1??10．求y?的最大值是__________________．

二、解答题

1．在四分之一个椭圆

形的面积最小．

2．在ΔABC中，tanA:tanB:tanC=1:2:3，求

ACABxa22?yb22?1（x>o, y>0）上取一点P，使过P点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角

．

3．在正方体A B C D—A1B1C1D1中，E、F、G点分别为AD、AA1、A1B1中点，

求：(1) B到面EFG距离；(2) 二面角G—EF—D1平面角?． 4．在实数范围内求方程：410?x?5．已知sin??cos??a0?a?47?x?3的实数根．

?2，求sin?n??cos?关于a的表达式．

n6．直线l与双曲线xy?1交于P和Q两点，直线l与x轴交于A，与y轴交于B，求证：AP?BQ． 7．定义在R上的函数f?x??4xx4?2，Sn?f??1??2??n?1??f???f????? n=2,3,… ?n??n??n?1S2?1S3???1Sn?1?M．

(1) 求Sn； (2) 是否存在常数M>0，?n?2，有

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大学自主招生数学试题

2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题

一、填空题（每题5分，共50分） 1．矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=____． A 2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是

_________．

3．2005！的末尾有连续________个零． B 4．(x2?x?2)10展开式中，x3项的系数为__________．

5．在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为

F

D

E C ?,?,?,且??????90?，则塔高为______________．

6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏

中，甲获胜的概率为___________． 7．函数y??log3(x2?ax?a)在(??,1?3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

8．?是x5?1的非实数根，?(??1)(?2?1)=_____________．

9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值． 10．已知ak?k?2k!?(k?1)!?(k?2)!，则数列{an}前100项和为___________．

二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分） 11．a,b,c?R，abc?0，b?c，a(b?c)x2?b(c?a)x?c(a?b)?0有两个相等根，

求证：

xa22111,,成等差数列． abc12．椭圆?y?1(a?1)，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三

2角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由． 13．已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值．

14．若函数形式为f(x,y)?a(x)b(y)?c(x)d(y),其中a(x),c(x)为关于x的多项式，b(y),d(y)为关于

y的多项式，则称f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由． (1) 1+xy；

322(2) 1+xy+x2y2．

15．设k?9,解方程x?2kx?kx?9k?27?0．

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大学自主招生数学试题

2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题

1．（本题20分）求和：

(1) 7?77?777???777?7 ?????n个7(2) 2005?20052005?200520052005???2005?20052005?????????

n个20052．（本题15分）试构造函数f(x),g(x)其定域为（0,1），值域为 [0,1]

(1) 对于任意a?[0,1]，f(x)?a只有一解；

(2) 对于任意a?[0,1]，g(x)?a有无穷多个解． 3．（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数． 4．（本题15分）对于任意n?N,x1,x2,?xn均为非负实数，且x1?x2???xn?试用数学归纳法证明：(1?x1)(1?x2)?(1?xn)?1212，

成立．

021222n2n5．（本题20分）求证：(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n．

6．（本题20分）a,b满足何条件，可使

x?ax?bx?2x?222?1 恒成立．

7．（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由．(1) x+1

(2) x+x+1

?42

(3) x+x+x+1

32

(4) x+x+x+x+1

432

8．（本题20分）解三角方程：asin(x?x2)?sin2x?9,a为一实常数．

9．（本题20分）已知曲线C:线C??关于直线y??124?y?1，曲线C关于直线y?2x对称的曲线为曲线C?，曲线C?与曲

2x?5对称，求曲线C?、C??的方程．

210．（本题20分）已知抛物线y?ax，直线l1,l2都过点（1，?2）且互相垂直，若抛物线与直线l1,l2中至

少一条相交，求a的取值范围．

11．（本题15分）f(x)在[1,??)上单调递增，且对任意x,y?[1,??)，都有f(x?y)?f(x)?f(y)成立，证明：存在常

数k，使f(x)?kx在x?[1,??)上成立．

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大学自主招生数学试题

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分）

1．设函数f(x)满足2f(3x)?f(2?3x)?6x?1，则f(x)? ．

2．设a,b,c均为实数，且3a?6b?4，则

3．设a?0且a?1，则方程ax?1??x2?2x?2a的解的个数为 ．

4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ．

5．1?1!?2?2!?3?3!???n?n!? ．

6．设不等式x(x?1)?y(1?y)与x2?y2?k的解集分别为M和N．若M?N，则k的最小值为 ．

7．设函数f(x)?

8．设a?0，且函数f(x)?(a?cosx)(a?sinx)的最大值为

2521a?1b? ．

xx，则S?1?2f(x)?3f2(x)???nfn?1(x)? ．

，则a? ．

9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ．

10．已 …… 此处隐藏：2011字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……