全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题(4)

大学自主招生数学试题

2002年交大联读班数学试卷

1. ?3?1，?是虚数，则?2n??n?1?_______________。

2. 函数y?ax?b?a,b?Z?的图象与三条抛物线y?x2?3、y?x2?6x?7、y?x2?4x?5分

别有2，1，0个交点，则?a,b??_______________。 3. 若3a?4b?6c，则

1a?12b?1c?_______________。

4. 若2x?2?x?2，则8x?_______________。 5. 函数y???secx?tanxsecx?tanx22的值域为_______________。

6. ?1?1??1??1?1??1???2??2?2?2??3??n?_______________。

1x27. 正实数x,y,z满足x2?y2?z2?1，则

?1y2?1z2的最小值是_______________。

8. 一个圆内接四边形ABCD，已知AB＝4，BC＝8，CD＝9，DA＝7，则cosA?_______________。 9. 实数a,b满足a1?b2?b1?a2?1，则a2?b2?_______________。

1??910. ?x2?1??的展开式中x的系数为_______________。

2x??911. 方程a2?x2?2?x，1?a?2，则方程有_______________个实数解。 12. ?ABC三边长a,b,c满足a?b?c，b?n，?a,b,c?N*?，则不同的三角形有_______________个。

13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。 14. 若不等式0?x2?ax?5?4只有唯一实数解，则a?_______________。

15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为

_______________。

16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机

器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_______________台，B应给C_______________台，A给 E_______________台，总共运输_______________台。 17. ①用数学归纳法证明以下结论：1?122?132????1n2?2?1n　?n?2,n?N*?。

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②若有1?x26?sinxx的结论求lim?1，利用①

n??1?11?1?sin1?2?sin????n?sin??n?2n?2x?ax?b

18. 若x?f?x?，称x为f?x?的不动点，f?x??

①若f?x?有关于原点对称的两个不动点，求a,b满足的关系； ②画出这两个不动点的草图。

19. 有50cm的铁丝，要与一面墙成面积为144cm2长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与

宽。

20. 数列?an?满足an?1?2an2?1，aN?1且aN?1?1，其中N??2,3,4,??

①求证：a1?1； ②求证：a1?cosk?2N?2?k?Z?。

a?b?? ?2??21. 函数f?x??lgx，有0?a?b且f?a??f?b??2f?①求a,b满足的关系；

②证明：存在这样的b，使3?b?4。

22. A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不

到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为An。 ①求An?1与An的关系； ②求limAn。

n??

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上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1．设方程x3=1的一个虚数根为?,则?2n??n?1(n是正整数)=__________．

2．设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，

0，则(a,b)=___________．

3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x,y,z>0且x2+y2+z2=1，则

x

?x

x

1x2?1y2?1z2的最小值为___________．

5．若2?2=2，则8=______________． 6．若a,b,c为正实数，且3=4=6，则7．(1?12)(1?2132abc

1a?12b?1c=_____________．

)?(1?21n2)的值为_____________．

8．函数y?secx?tgxsecx?tgx2的值域为______________．

9．若圆内接四边形ABCD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则cosA=__________． 10．若a,b满足关系：a1?b?b1?a?1，则a2+b2=____________．

2211．(x?1?212x)的展开式中x的系数是_____________．

99

12．当1?a?2时，方程a2?x2?2?|x|的相异实根个数共有_____________个．

13．若不等式0?x2?ax?5?4有唯一解，则a=_______________．

14．设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且a?b?c，若b=n（正整数），则可组成这样的三角形______

个．

15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______．

16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，

现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，

从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台．

二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：

(1)1?122?132???1n2?2?1n；(2)已知当0?x?1时,1?1n1213x26?sinxx?1，

试用此式与(1)的不等式求lim

n??(sin1?2sin?3sin???nsin1n)

18．（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数f(x)?第 18 页 共 52 页

2x?ax?b有两个关于

大学自主招生数学试题

原点对称的不动点

(1) 求a,b须满足的充要条件；

(2) 试用y=f(x)和y=x的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）

2

19．（本题14分）欲建面积为144m的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现

有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的

长度．

2?1(n?1,2,?)，若N满足aN?1(N?2,3,?)， 20．（本题14分）设数列{an}满足关系an?1?2anx 144m y 2试证明：(1) |a1|?1；

(2) a1?cosk?2N?2 （k为整数）

21．（本题16分）设f(x)?|lgx|,a,b为实数，且0?a?b,若a,b满足f(a)?f(b)?2f(试写出a与b的关系，并证明在这一关系中存在b满足3

a?b2)

22．（本题16分）A和B两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接

着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率是Pn．试求：(1) Pn+1用Pn表示的式子；(2) 极限limPn

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2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知x,y?R?，x+2y＝1，则

2x?2y的最小值是______________．

4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个

数是___________________． 5．已知f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1，f(2)??8，则f(?2)?_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．

8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是 …… 此处隐藏：2500字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……