全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题(8)

大学自主招生数学试题

二、计算与证明题（每小题10分，共50分）

11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r?10mm,h?4mm时，R的值．

12．设函数f(x)?sinx?cosx，试讨论f(x)的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在?0,2??内的图像．

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13．已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x?y2上，试求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标．

14．设f(x)?(1?a)x4?x3?(3a?2)x2?4a，试证明对任意实数a： （1）方程f(x)?0总有相同实根； （2）存在x0，恒有f(x0)?0．

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15．已知等差数列?an?的首项为a，公差为b，等比数列?bn?的首项为b，公比为a，n?1,2,?，其中

a,b均为正整数，且a1?b1?a2?b2?a3．

（1）求a的值；

（2）若对于?an?,?bn?，存在关系式am?1?bn，试求b的值； （3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1?a2???am．

参考答案： 1. 2x?1 2.

?12

3. 2 4. 94

5.

?n?1?!?1

6. 2

?1??2n?n?1?x?07. ?

?1???1?n?2n?1???4x?08. ?22

9. 4345

10.

2x?35?3x

11. R?2hr2?r，R?60mm

12. ?1,2?；偶函数；?1?????k???k?1??2k?,12k??4??k?Z???；?1??24,2????13. d5?5min?4；M??,?2?2?? ?4?14. 略；反证法 15. 2；3；3?22n?3?2n?2

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?k?Z?；周期为?2

大学自主招生数学试题

2008年交大冬令营数学试题2008.1.1

一．填空题 1．若f(x)?2．函数y?2?12?1x?1x?82xx，g(x)?f?13(x)，则g()?_______．

5的最大值为__________．

3．等差数列中，5a8?3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为__________． 4．复数|z|?1,若存在负数a使得z2?2az?a2?a?0，则a?________． 5．若cosx?sinx?12，则cos3x?sin3x?________．

1nn?1?(n?1)n6．数列?an?的通项公式为an?，则这个数列的前99项之和S99?_______．

7．(1?x)?(1?x)2?……?(1?x)98?(1?x)99中x3的系数为________． 8．数列?an?中，a0?0，a1??12，a2?6，a3??34，a4?20，a5??56a7??，a6?42，

78a8?72，，

此数列的通项公式为an?_______．

9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．

222210．若曲线C1:x?y?0 与 C2:(x?a)?y?1的图像有3个交点，则a?_______．

二．解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b． （１）a是否有可能比b高？ （２）a和b是否可能相等？

2．已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根．那么f(f(x))?x是否有实数根？并证明你的结论．

3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？

（２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？

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2大学自主招生数学试题

4．通信工程中常用n元数组(a1,a2,a3,……an)表示信息，其中ai?0或1，i、n?N．设

u?(a,a2,a……13na，)v?(b1,b2,b3……bn)，d(u,v)表示u和v中相对应的元素不同的个数．

（１）u?(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?1； （２）u?(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v 使得d(u,v)?3；

（３）令w?(0,0,0……0)，u?(a1,a2,a3……an)，v?(b1,b2,b3……bn)，

?????n个0求证：d(u,w)?d(v,w)?d(u,v)．

5．曲线y?2px?p?0?与圆(x?2)2?y2?3交于A、B两点，线段AB的中点在y?x上，求p．

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