全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题(2)

大学自主招生数学试题

②若点?x,y? 在直线y?ax?b上运动，而点?u,v?在过点?1,1?的直线上运动，求a，b的值。 17. 若x,y满足x2?2xy?y2?3x?3y?12?0，求下列函数的最小值：①x?y；②xy；

③x3?y3。

18. 若方程x3?27x?m?0有3个不同实根，求实数m的取值范围。

19. 己知函数f?x?满足f?x?y??f?x??f?y??xy?x?y?，又f'?0??1，求函数f?x?的解析式。

20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第

即第n?1次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是n次两个黄球都被摸出，

Pn，求P2,P3,Pn。

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大学自主招生数学试题

2001复旦基地班数学试题

1. 设函数y?xx?a的反函数是它自身，则常数a?_______________。

222. 不等式??log2??x????log2x的解集是_______________。

3. 直线2x?7y?8?0与2x?7y?6?0间的距离是_______________。

4. 如果?3?x?的展开式的系数和是?1?y?的展开式的系数和的512倍，那么自然数n与m的关系为_______________。 5. 椭圆??34?2cos?nm的焦距是_______________。

226. 己知4x?3y?5?0，那么?x?1???y?3?的最小值为_______________。

7. 与正实轴夹角为arcsin?sin3?的直线的斜率记为k，则arctank?_______________。（结果用数值表示）

8. 从n个人中选出m名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不

限，则共有_______________种选法?m?n?。

9. 正方体ABCD?A1B1C1D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角为_______________。 10. sec50??1cot10??_______________。（结果用数值表示）

11. 函数g?x??cos?x?cos??x???的最小正周期是（ ）

?2??3?A．2? B．? C．2 D．1 12. 设函数f?x??A．f?x??f?1x的反函数为f?1 ?x?，则对于?0,1?内的所有x值，一定成立的是（ ）

f?1?x? B．f?x???x? C．f?x??f?1?x? D．f?x??f?1?x?

13. 813除以9所得的余数是（ ）

A．6 B．?1 C．8 D．1

14. 抛物线y2??4?x?1?的准线方程为（ ）

A．x?1 B．x?2 C．x?3 D．x?4

1?x?t???t15. 由参数方程?所表示的曲线是（ ）

1?y?t??t?A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

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大学自主招生数学试题

16. 己知抛物线y?x2?5x?2与y?ax2?bx?c关于点?3,2?对称，则a?b?c的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

17. 作坐标平移，使原坐标下的点?a,0?，在新坐标下为?0,b?，则y?f?x?在新坐标下的方程

为（ ）

A．y'?f?x'?a??b B．y'?f?x'?a??b C．y'?f?x'??a?b D．y'?f?x'?a?b? 18. 设有四个命题： ①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件； ②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件； ③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 ④a,b是平面?外的两条直线，且a//?，则a//b是b//?的必要而不充分条件，其中真命题的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

19. 集合A,B各有四个元素，A?B有一个元素，CüA?B，集合C含有三个元素，且其中

至少有一个A的元素，符合上述条件的集合C的个数是（ ） A．55 B．52 C．34 D．35

20. 全面积为定值?a2（其中a?0）的圆锥中，体积的最大值为（ ）

A．?a3 B．

322123?a C．?a D．

313663?a

21. 已知：sin??sin??a，cos??cos??a?1，求sin?????及cos?????。

22. 设复数z1,z2满足：z1?z1?z2，z1z2?a?1?3i?，其中i是虚数单位，a是非零实数，求

z2z1。

23. 已知椭圆

?x?a?22?y?1与抛物线y?142212x在第一象限内有两个公共点A,B，线段AB的

中点M在抛物线y2??x?1?上，求a。

n?1n24. 设数列?bn?满足b1?1，bn?0，?n?2,3,??其前n项乘积Tn??abn??n?1,2,??，①证

明?bn?是等比数列。②求?bn?中所有不同两项的乘积之和。

25. 己知棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰三角形，AB?AC，上底面的项点A1在下底面的射

影是?ABC的外接圆圆心，设BC?a，?A1AB??3，棱柱的侧面积为23a2。

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大学自主招生数学试题

①证明:侧面A1ABB1和A1ACC1都是菱形，B1BCC1是矩形。 ②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。

26. 在直角坐标系中，O是原点，A,B是第一象限内的点，并且A在直线y??tan??x上（其

中???????,2??4，OA??）

12?osc?，B是双曲线x2?y2?1上使?OAB的面积最小的点，求：

当?取?????,?中什么值时，?OAB的面积最大，最大值是多少? ?42?第 9 页 共 52 页

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2001年交大联读班数学试卷

1. 数N?212?58的位数是_______________。

2. log2??log3?log4x????log3??log4?log2y????log4??log2?log3z????0求

x?y?z?_______________。

3.

p?log83，q?log35，则用p,q表示lg5?_______________。

4. 2sin??sin??cos?，sin2??sin?cos?，求

??cos2?cos2??_______________。

5. x??0,?，求f?x??cosx?xsinx的最小值为_______________。

?2?6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边

上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。

100?7. 数列1,3,2,?中，an?2?an?1?an，求?ai?_______________。

i?148.

?1?2x?x2?展开式中x7系数为_______________。

9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60?，角的两边一边长x，一边长9cm，排版时把

长x的那边错排成x?1长，但发现角和对边长度没变，则x?_______________。 10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列?d?1?的概率为_______________。 11. ?a?1??b?1??2，则arctana?arctanb?（ ） 12. A．

?2 B．

?3 C．

?4 D．

?6

13. 某人向正东走xkm，再左转150?朝新方向走了3km，结果离出发点3km，则x?（ ）

A．3 B．23 C．3 D．不确定

11???14. ?1?232??1?216???1???2?1?2????（ ）

????11?1?32A．?1?2?2???1111???1?323232 B．?1?2? C．1?2 D．?1?2?

2????215. t?0，S??x,y??x?t??y2?t2，则（ ）

A．?t，?0,0??S B．S的面积??0,??

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