全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题(6)

大学自主招生数学试题

5．求证：1?

6．已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离．

7．比较log

8．已知数列?an?、?bn?满足an?1??an?2bn，且bn?1?6an?6bn，又a1?2，b1?4，

求 (1) an,bn；

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24123?133???1n3?3．

25与log2526的大小并说明理由．

(2) limanbn．

大学自主招生数学试题

简单解答： 一、填空题：1.?二、解答题： 5．证明1：

1m32 2.(?0.6,0.8) 3.20 4.

13

?1(m?1)m(m?1)1m?1?(1(m?1)m1m?1(m?1)m)?1m?1?m?1

=（?1m?1)??m?1?2m?1

而

m?1?2?1m?1m?1?m?1?m?12?m

1m3?1m?1

1111原式<1+??????13241n?1?1n?1=2?22?1n?1n?1?3

证明2：2n?n?n?12n12nnn(n?1)?1(n?1)(n?1)

n?n?1 ?n?1(n??n?n?1)??n?1?1n

n?11n?1n(n?1)

原式〈1?2(1?

12?12?13???1n?1?1n)?3?1n?3

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大学自主招生数学试题

同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷

一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本

大题满分40分） 1．函数f(x)?log1(sinx?cosx)的单调递增区间是_______________________．

22．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数v?v(t)的图象，则该质点运动的总路程s=_____（厘米）．

3．设a与b是两条非相互垂直的异面直线，?与?分别是过直线a与b20 的平面，有以下4个结论：(1) b//?，(2) b??，(3) ?//?，(4) ???，15 则其中不可能出现的结论的序号为__________． 10 4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位

恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。若水位高度h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间（t单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_______________． 5．设?是第二象限角，sin???57?,则sin???2??=_____________________． 5?8?2

v(cm/s) 5 O 5 10 15 t(s) 36．已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i，线段AB上的动点P对应复数Z，若复数z对应点Q，点Q坐标为(x,y)，则点Q的轨迹方程为________________________．

7．设有正数a与b，满足a

平均数，则x1?y1(x2?y2)2的取值范围是_________________．

8．从0,1,2，…,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率

是_______________（用分数给出答案）．

二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分） 9．（本题满分12分）试利用三角函数求函数f(x)?4?2x2?x1?x2的最大值与最小值．

10．（本题满分12分）求证：对于任何实数a与b，三个数：|a+b|,|a-b|,|1?a|中至少有一个不小于

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12．

大学自主招生数学试题

11．（本题满分12分）设抛物线y=x?(2k?7)x?4k?12与直线y=x有两个不同的交点，且交点总可以被一个

半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？

12．（本题满分12分）设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方

形，且PA⊥面ABCD．

(1) 求证：直线PC⊥直线BD；

(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高．

13．（本题满分12分）设有抛物线y2=2px(p>0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物

线上，试问：点C在什么范围之内时∠BAC是锐角？

A B C E D

2

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大学自主招生数学试题

上海交通大学2005年保送、推优生数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分） 1．方程x2?px?12p2?0的两根x1,x2满足x1?x2?2?44． 2，则p?_________（p?R）

2．sin8x?cos8x?411281n),x?(0,n?1?2)，则x=________________． 1)20043．已知n?Z，有(1??(1?2004，则n?______________．

4．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一个边长为

，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面62的正六边形上（如下图）体的体积为_____________．

5．已知23?3?22223x?3y，x、y?R，则(x,y)=_______________．

n?16．2?4?6?8???(?1)3

3

2

(2n)=___________．

27．若z=1，且z?C，则z?2z?2z?20?_____________． 8．一只蚂蚁沿1×2×3立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_______________． 9．4封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为______，恰好只有一封装错的概率为_______． 10．已知等差数列{an}中，a3?a7?a11?a19?44，a5?a9?a16=______________． 二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）

1．x?ax?bx?c?0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．

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