直线与圆的位置关系（有答案）(9)

点评： 本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和判定、角平分线性质、平行线的性质和判定，解（1）的关键是求出∠ODE=90°，解（2）的关键是得出关于r的方程． 30．（2012?和平区二模）如图，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD为直径的半圆O交AC于点E，点G是AD的中点． （Ⅰ）GE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； （Ⅱ）若EC=4，DC=6，求直角边AD的长．

考点： 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接OE，DE，根据DC是直径得出∠CED=90°，推出∠AED=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EG=AD=DG，推出∠GED=∠GDE，再推出∠OED=∠ODE，求出∠OEG=∠ODG=90°，根据切线的判定推出即可； （2）证△CED∽△CDA，推出=，代入求出CA=9，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AD即可． 解答： 解：（1）GE与半圆O相切，理由是： 连接OE，DE， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CED=90°， ∴∠AED=90°， ∵G为AD中点， ∴EG=AD=DG， ∴∠GED=∠GDE， ∵OE=OD， ∴∠OED=∠ODE， ∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE， 即∠OEG=∠ODG=90°， ∴GE⊥OE， ∵OE是⊙O半径， ∴GE是⊙O切线； （2）∵∠CED=∠CDA=90°，∠ECD=∠DCA，

∴△CED∽△CDA， ∴=∴CA=， ==9， ==3． 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD= 点评： 本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．