直线与圆的位置关系（有答案）(7)

2∴AM=MN?MC． 2 点评： 此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．是一道综合性的题目，难度中等偏上． 21．（2012?泰州一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的长．

考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 分析： （1）求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根据切线判定推出即可； （2）根据直角三角形斜边上中线性质求出BC=OB=3，根据三角形面积公式求出CF，得出CE，根据勾股定理求出AE即可． 解答： （1）解：DE与⊙O的位置关系式相切． 理由是：连接OC， ∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF， ∴∠EAC=∠CAF， ∵OA=OC， ∴∠CAF=∠OCA， ∴∠OCA=∠EAC， ∴OC∥AE， ∵AE⊥DE， ∴OC⊥DE， ∵OC为⊙O半径， ∴DE是⊙O的切线， 即DE与⊙O的位置关系式相切．

（2）解： ∵OC⊥DE， ∴∠OCD=90°， ∵AB=6，BD=3， ∴OB=3=BD， 即B为OD中点， ∴CB=OB=BD=3， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， 在△ACB中，AB=6，BC=3，由勾股定理得：AC=3， 在△ACB中，由三角形的面积公式得：×AC×BC=×AB×CF， ∴×3CF=×3=×6×CF， ， ∵CE=CF， ∴CE=， ，CE=，由勾股定理得：AE=， 在Rt△AEC中，AC=3即AE=，BC=3． 点评： 本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用． 22．（2012?靖江市模拟） 如图，AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点． （1）若⊙O的半径为5，AB=8，求tan∠BAC； （2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由．

考点： 切线的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （1）根据垂径定理得到直角三角形，分别求出要求正切值的角的对边与邻边，就可以求其正切值； （2）证明直线与圆相切可以转化为证明直线垂直经过切点的半径． 解答： 解：（1）如图，∵AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点，AB=8，

∴OC⊥AB于E， ∴又∵AO=5， ∴∴CE=OC﹣OE=2， 在Rt△AEC中， （2）AD与⊙O相切．理由如下： ∵OA=OC， ∴∠C=∠OAC， ∵由（1）知OC⊥AB， ∴∠C+∠BAC=90°． 又∵∠BAC=∠DAC， ∴∠OAC+∠DAC=90°， ∴AD与⊙O相切． ； ， ， 点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、切线的判定等知识，是一道难度适中的有关切线的判定的综合题目． 23．（2012?开封一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．

（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小； （2）当AB=1，AC=2时，求△DEC的外接圆的半径．

考点： 切线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： （1）求出O在DC上，连接OE，得出∠EBO+∠BOE=90°，求出BE=EC=AC，推出∠C=∠EBC，得出∠BOE=2∠C，即可求出∠C； （2）求出EC，证△DEC∽△ABC，推出解答： 解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴∠DEC=90°， ∴DC是⊙O的直径， ∴O在DC上， 连接OE，

=，代入求出DC即可． ∵BE是⊙O的切线， ∴∠OEB=90°， ∴∠EBO+∠BOE=90°， 在Rt△ABC中，E为斜边AC的中点， ∴BE=EC=AE=AC（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴∠EBO=∠C， ∵OC=OE， ∴∠C=∠CEO， ∵∠BOE=∠C+∠CEO， ∴∠BOE=2∠C， ∵∠EBO+∠BOE=90°，∠EBO=∠C ∴∠C+2∠C=90°， ∴∠C=30°； （2）在Rt△ABC中，BC=EC=AC=1， ∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C， ∴△DEC∽△ABC， ∴=∴=∴DC=， ， ， ． =， ∴△DEC的外接圆的半径是 点评： 本题考查的知识点是切线的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力． 24．（2012?沐川县二模）本题为选做题，从甲乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．

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甲题：已知关于x的一元二次方程mx﹣（2m﹣1）x+m﹣2=0（m＞0）． （1）证明：这个方程有两个不相等的实根；

（2）如果这个方程的两根分别为x1，x2，且（x1﹣5）（x2﹣5）=5m，求m的值． 乙题：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．