直线与圆的位置关系（有答案）(6)

∵=，BC=15， ∴AB=3，AC=2AB=6， ∴AD?AE=3×6=90． 点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用． 20．（2013?怀柔区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB． （1）求证：∠PCB=∠A； （2）求证：PC是⊙O的切线；

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（3）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证：AM=MN?MC．

考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）利用半径OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可证得结论； （2）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线； （3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM=MN?MC；等量22代换可得MN?MC=BM=AM． 解答： 证明：（1）∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COB=2∠A， ∵∠COB=2∠PCB， ∴∠PCB=∠A； （2）∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线；（3分） （3）连接MA，MB， ∵点M是弧AB的中点， ∴弧AM=弧MB ∴∠BCM=∠ABM（同圆中，相等的弧所对的圆周角相等）， ∴△MBN∽△MCB． 2∴BM=MN?MC．