直线与圆的位置关系（有答案）(5)

考点： 切线的性质；垂线；三角形内角和定理；圆周角定理． 专题： 计算题． 分析： 连接OB，根据切线的性质得到OB⊥AB，求出∠OBA=90°，根据三角形的内角和定理求出∠AOB的度数，由∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求出∠C． 解答： 解：连接OB， ∵AB切圆O于B， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA=90°， ∵∠A=34°， ∴∠AOB=180°﹣∠A﹣∠OBA=56°， ∵∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴∠C=∠AOB=28°． 故答案为：28°． 点评： 本题主要考查对三角形的内角和定理，垂线的定义，圆周角定理，切线的性质等知识点的理解和掌握，能灵活运用切线的性质和圆周角定理进行推理是解此题的关键． 三、解答题（共15小题）（选答题，不自动判卷） 16．（1998?海淀区）已知：如图，MN是⊙O的切线，切点为A，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E．

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求证：AC=AE?AB．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题；压轴题． 分析： 连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，CB，利用切线的性质和圆周角定理得到∠MAC=∠F后即可得到△ACE∽△ABC，从而证得结论． 解答： 证明：连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF，CB， ∵MN是⊙O的切线， ∴FA⊥MN， ∴∠MAC+∠CAF=90°， ∵AF过点O， ∴∠ACF=90°，

∴∠CAF+∠F=90°， ∴∠MAC=∠F ∵∠CAB=∠CAB ∴△ACE∽△ABC ∴2 ∴AC=AE?AB． 点评： 本题考查了切线的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出如图的辅助线． 17．（2013?大兴区一模）已知：如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，连结PB、PO，PO∥BC， （1）求证：直线PB是⊙O的切线； （2）求tan∠BCA的值．

考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△AOP≌△BOP得证． （2）延长AC交PB的延长线于点D，利用△PDO∽△BDC得到DC=2CO．设CO=r，则DO=3r，连结BO，利用△BDO∽△ADP，求得PA的长，从而求解结论． 解答： （1）证明：连接OB， ∵OB=OC， ∴∠C=∠OBC． ∵PO∥BC， ∴∠C=∠AOP，∠BOP=∠OBC， ∴∠AOP=∠BOP ∵OP=OP， ∴△AOP≌△BOP． ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴PB是⊙O的切线． （2）解：延长AC交PB的延长线于点D， ∵PO∥BC， ∴△PDO∽△BDC．

∴． ∴DC=2CO． 设CO=r，则DO=3r，连结BO， 在Rt△BDO中，又∵△BDO∽△ADP， ∴． ． ∴． ∴． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及切线的判定，特别是第（2）题，难度较大． 18．（2012?兰州一模）如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．

（1）求证：CD∥AO；

（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

考点： 切线的性质；平行线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）欲证CD∥AO，根据平行线的判断，证明∠DCB=∠OEB即可； （2）由题可知求y与x之间的函数关系式，可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出． 解答： （1）证明：如图，连接BC，交OA于E点， ∵AB、AC是⊙O的切线， ∴AB=AC，∠1=∠2． ∴AE⊥BC． ∴∠OEB=90°． ∵BD是⊙O的直径， ∴∠DCB=90°． ∴∠DCB=∠OEB． ∴CD∥AO． （2）解：∵CD∥AO， ∴∠3=∠4．

∵AB是⊙O的切线，DB是直径， ∴∠DCB=∠ABO=90°， ∴△BDC∽△AOB， ∴=， ∴=， ∴y=． ∴0＜x＜6． 点评： 本题综合考查的是平行线的判断，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及圆周角定理．利用圆周角定理解答问题时，经常通过作辅助线构建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理来解答． 19．（1997?辽宁）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求： （1）⊙O的半径； （2）sin∠BAP的值； （3）AD?AE的值．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）连接AO，求出∠BAP=∠C，证△PAB∽△PCA，得出=，代入求出PC即可； （2）根据△PAB∽△PCA得出==，求出=，代入sinC=sin∠BAP求出即可； =求出AB=3，AC=2AB=6，代入（3）连接CE，证△ACE∽△ADB，推出AD?AE=AB?AC，根据即可求出答案．

解答： 解：（1）连接AO，∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°， ∵BC是⊙O直径， ∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°， ∴∠CAO=∠PAB， ∵OC=OA， ∴∠C=∠OAC， ∴∠BAP=∠C， ∵∠P=∠P， ∴△PAB∽△PCA， ∴=∴=， ， ∴PC=20，BC=15， 则半径为； （2）∵△PAB∽△PCA， ∴==， ∵∠CAB=90°， ∴=， ； ∴sinC=sin∠BAP=（3）连接CE，∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAE， ∵∠E=∠ABD， ∴△ACE∽△ADB， ∴=， ∴AD?AE=AB?AC，