直线与圆的位置关系（有答案）(8)

（1）证明：BD=DC； （2）DE是否是⊙O的切线？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 我选做的是 甲 ．

考点： 切线的判定；根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题． 2分析： （1）把a、b、c的值代入b﹣4ac求出即可； （2）求出x1+x2和x1x2的值，把（x1﹣5）（x2﹣5）=5m整理后代入得出一个关于m的方程，求出即可． 22解答： 解：甲：（1）b﹣4ac=[﹣（2m﹣1）]﹣4×m×（m﹣2）═4m+1， ∵m＞0， ∴4m+1＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2），， ∵（x1﹣5）（x2﹣5）=5m， ∴x1x2﹣5（x1+x2）+25=5m， ∴解得：∵m＞0， ∴， ﹣， +25=5m， 故答案为：甲． 点评： 本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，主要培养学生运用性质进行计算的能力，题型较好，难度适中． 25．（2012?衢州一模）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． （1）求证：MN是半圆的切线； （2）求证：FD=FG． （3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

考点： 圆周角定理；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题． 分析： （1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可； （2）根据三角形的内角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可； （3）根据等腰三角形的性质推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S△DGF=S△ADG，证△BCG∽△ADG，根据相似三角形的性质求出即可． 解答： 解：（1）如右图所示， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°， ∵∠MAC=∠ABC， ∴∠CAB+∠MAC=90°， 即∠MAB=90°， ∴MN是半圆的切线． （2）证明：∵DE⊥AB， ∴∠EDB+∠ABD=90°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CBG+∠BGC=90° ∵D是弧AC的中点， ∴∠CBD=∠ABD， ∴∠EDB=∠BGC， ∵∠DGF=∠BGC， ∴∠EDB=∠DGF， ∴DF=FG． （3）∵DF=FG， ∴∠DGF=∠FDG， ∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°， ∴∠DAF=∠ADF， ∴AF=DF=GF， ∴S△ADG=2S△DGF=9， ∵△BCG∽△ADG， ∴=， ∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4， ∴S△BCG=16． 答：△BCG的面积是16．

点评： 本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 26．（2012?南关区模拟）如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是⊙O上一点，∠D=27°，求∠B的度数．

考点： 切线的性质；圆周角定理． 分析： 根据圆周角定理求出∠COA，根据切线性质求出∠OAB=90°，根据三角形内角和定理求出即可． 解答： 解：∵弧AC对的圆心角是∠COA，对的圆周角是∠D，∠D=27°， ∴∠COA=2∠D=54°， ∵BA切⊙O于A， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB=90°， ∴∠B=90°﹣54°=36°． 点评： 本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理等知识点，关键是求出∠COA和∠OAB的度数． 27．（2012?历下区二模）（1）已知：如图1，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：DE=DF．

（2）如图2，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是CA的延长线于E，F，求证：EF是⊙O的切线．

的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，

考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一定理得出AD平分∠BAC，根据角平分线性质得出DE=DF即可； （2）连接OD，根据圆周角定理得出BA⊥BC，推出EF∥AB，根据垂径定理得出OD⊥AB，即可得出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可．

解答： （1）证明：连接AD， ∵AB=AC，D为BC中点， ∴AD平分∠BAC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF． （2）证明：连接OD交AB于M， ∵D为弧AB中点，OD为半径， ∴OD⊥AB， ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°， AB⊥BC， ∵EF⊥BC， ∴AB∥EF， ∵OD⊥AB， ∴OD⊥EF， ∵OD是半径， ∴EF为⊙O的切线． 点评： 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识的，注意：等腰三角形的三线合一定理，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 28．（2012?江西模拟）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．

考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；圆周角定理． 专题： 探究型． 分析： 根据等腰三角形性质推出∠OCB=∠OBC，求出∠ACB=90°，推出∠A+∠CBO=90°，推出∠DCB+∠OCB=90°，根据切线的判定推出即可． 解答： 解：CD与⊙O相切，理由如下： ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A+∠OBC=90°，

∵∠DCB=∠A，∠OCB=∠OBC， ∴∠DCB+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∵OC是半径， ∴CD与⊙O相切． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的判定，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度也适中． 29．（2012?海陵区二模）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AE=3，BF=2，求⊙O的半径．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）连接OD，根据OA=OD和角平分线性质得出∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，得出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据平行线得出△ODF∽△AEF，得出比例式，代入求出即可． 解答： （1）证明：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵∠OAD=∠CAD（已知）， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴EF⊥OD， 即∠ODE=90°， ∵OD为半径， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：设⊙O的半径为x． ∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴即， ， （舍去）． 解得：x1=2，x2=∴⊙O的半径为2．