电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）(7)

????M0?? 密度为J's?M?n在圆柱形导磁体表面取一宽度为dz'的电流环带，dI?M0dz'

??先计算此电流环带在轴线上的磁场（例4-2），dB?z然后对dz'积分

d???B?z0?0a2dI2(a2?(z?z')2)3/2

?0a2M0dz'223/22[a?(z?z')]??0M0zz?d积分得 B?[?]

22222z?a(z?d)?a

??，求磁化电4-16. 一段截面为a?b长为d的方柱形导磁体沿长度方向均匀磁化，磁化强度为M?M0z流及磁化电流在轴线上产生的磁感应强度。

??J'???M?0方柱形导磁体中的磁化体电流为零。方柱形形导磁体侧面的磁化面电解：由于均匀磁化，

???，围绕方柱形导磁体表面作如图所示的平行与xy面的矩形回路，电流沿此矩形回路流密度为J's?M?n流动。先求高度为dz’的矩形回路电流在轴线上产生的磁感应强度

??Mdz'?0dB?z4?abba()2?()2?(z?z')2a2[1a()2?(z?z')22?1b()2?(z?z')22]

??M?0B?z4?d?0abba()2?()2?(z?z')2a2[1a()2?(z?z')22?1b()2?(z?z')22]dz'

4-17.在磁导率为?1的媒质1及磁导率为?2的媒质2中距边界面为h处分别平行于边界平面放置相互平行的电流

I1、I2，如图所示，求单位长度的载流导线所受的力。

I1hhI2

12题4-17图

解：用镜像法。在计算媒质1中的磁场时，在2区的镜像位置放置镜像电流I'2；在计算媒质2中的磁场时，在1区的镜像位置放置镜像电流I'1。利用边界条件H1t?H2t、B1n?B2n，可得方程

I1?I'2?I'1?I2

?1(I1?I'2)??2(I'1?I2)

解此方程得

2?1???1I1?2I2

?1??2?1??2???12?2I2'?2I1?I2

?1??2?1??2???1I1I'2??(?h) 电流I1所受的力为 F1?I1l?B2?4?h???2I'1I2??) (?h电流I2所受的力为 F2?I2l?B1?4?h?为引力方向。 ?h4-18.在截面为正方形a?a半径为R(R??a)的磁环上，密绕了两个线圈，一个线圈为m匝，另一个线I1'?圈为n匝。磁芯的磁导率为100，分别近似计算两线圈的自感及互感。

解：近似认为密绕在磁环上的线圈无漏磁，磁环中磁场相等。用安培环路定律

???H?dl?NI H?N为线圈匝数。取闭合回路沿磁环中心线，则磁环中

?NINI 即 B? 2?R2?R由于R??a，穿过磁环截面的磁通近似为

?a2NIm2??BS?Ba?

2?Rm?a2m2I1?11?a2m2mm因此 ?11?m?1? L1??2?R2?RI1?a2n2I2??n??2?Rm22

m2m?22?a2n2 L2??2?RI2

?a2mnI1??n??2?Rm21m14-19.在一长直导线旁放一矩形导线框，线框绕其轴线偏转一角度为?，如图所示。求长直导线与矩形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。 解：长直导线到线框两边的距离分别为

m?21?a2mn M??2?RI1

r1?(a/2)2?d2?adcos?长直导线通过线框中的磁场为

r2?(a/2)2?d2?adcos?

??0I?B??2?x

长直导线的磁场通过线框两边之间的磁通等于通过半径分别为r1、r2的圆弧之间的磁通，因此穿过线框的磁通可用下式计算

?Ibdx?0Ibr2???0?ln2?x2?r1rm1r2?m?0br2 互感为M??lnI2?r1

题4-19图 题4-20图

4-20. 在一长直导线旁放一等边三角形导线框，如图所示。求长直导线与等边三角形导线框之间的互感并在图上画出互感为正时的电流方向。

解：如图所示，长直导线在等边三角形导线框面上的磁场为

??I?0 B??z2?x穿过三角形导线框中的磁通为

d?a???0Im????B?dS??ydx?2?xSd3?0Id(d?a)d?a[dln?aln] 2?d?a/2(d?a/2)23?0d(d?a)d?a[dln?aln] 22?d?a/2(d?a/2)4-21.在4-20题中如果两导线回路的电流分别为I1、I2，求等边三角形载流导线框所受的磁场力。

?m?互感为 M?I解：系统的磁场能量为

Wm?F?

11L1I1?L2I2?MI1I2 22

对于常电流系统，磁场力为

?Wm?M?I1I2?d?d

4-22.在4-19题中如果两导线回路的电流分别为解：系统的磁场能量为

I1、I2，求矩形载流导线框所受的磁场力矩。

Wm?F?

11L1I1?L2I2?MI1I2 22

对于常电流系统，磁场力为

?Wm?M?I1I2?d?d??0bI1I22d?acos?2d?acos?[?]22224?(a/2)?d?adcos?(a/2)?d?adcos?第五章

时变电磁场

5.1如图所示的电路中,电容器上的电压为uc(t),电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。

解：设电容器极板面积为S，电容器中的位移电流为iD,传导电流为ic

iD?SJD?S???u?D?q?(uCC)?SS???CC?ic ?t?t?t?t?t

5.2由麦克斯韦方程组推导（5.3-4b）式。

????E解：对麦克斯韦方程??H?J??两边取旋度得

?t????E????H???J????

?t????2上式左边利用矢量恒等式????A????A??A，并考虑到对于均匀介质，??H?0，

?????E??H???????E，上式右端代入麦克斯韦方程??E???，得

?t??t?t???2H2?H???????J

?t25.3已知导电媒质中

???2E0e??zsin(?t?k0z) E(r,t)?x??????求：（1）H(r,t)；（2）w(r,t)；（3）P(r,t)；（4）S(r,t)

???H解：（1）由麦克斯韦方程??E???

?t??y?2E0e??z?H1????E?[?sin(?t?k0z)?k0cos(?t?k0z)] ?t?????2E0e??zyH(r,t)?[??cos(?t?k0z)?k0sin(?t?k0z)]

?????（2）w(r,t)?we(r,t)?wm(r,t)

??12?2?zwe(r,t)??E2(r,t)??E0esin2(?t?k0z)

2E??1wm(r,t)??H2(r,t)?(0)2e?2?z[?cos(?t?k0z)?k0sin(?t?k0z)]2

2???2?2?zsin2(?t?k0z) （3）P(r,t)??E?2?E0e????2E02?2?z?esin(?t?k0z)[?cos(?t?k0z)?k0sin(?t?k0z)] （4）S(r,t)?E?H?z??5.4 在?1,?1和?2,?2两种理想介质分界面上 ???Ey0y??Ez0z? E1?Ex0x???Hy0y??Hz0z? H1?Hx0x??求E2,H2。

解：由两种理想介质分界面的边界条件

E1t?E2t ?1E1n??2E2n?E2x?Ex0,E2y?Ey0;?1Ez0??2E2z H1t?H2t ?1H1n??2H2n?H2x?Hx0,H2y?Hy0;?1Hz0??2H2z

???1???Ey0y????Hy0y??1Hz0z?，H2?Hx0x? Ez0z得 E2?Ex0x?2?25.5在理想导体面上

??Jy0cos?t ?Jz0sin?t?yJS?z??） 求导体表面上的H。（设理想导体表面的法向为x解：由理想导体表面上的边界条件 ????H?JS n? 设理想导体表面的法向为x

5.6 已知在空气中

???????y?Jz0sin?t?z?Jy0cos?t 得导体表面上的H为 H?JS?n?JS?x??2E0sin(?t?k0z)?y?2E0cos(E1?x?t?k0z) ??2Hx0sin(?t?k0y)?z?2Hz0cos(H2?x?t?k0y)

求： v。

???E(?jx??y?)e?jk0z 解：E10??jk0y??(?jHx?? H?Hz)e2x0z0