电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）(2)

?4?r5;r?a?2?5aq??32半径为 r 的球面内的电量为 a?5ba?4?;r?a?5?因此，电场强度为

?r3;r?a??5?0a2 Er??32a?5ba?;r?a2??5?0r

2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为

r??;r?a ???a??0;r?ar为场点到z轴的距离，a为常数。求电场强度。

解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理

??q??E?dS?s??等式左边为 ??E?dS?2?rEr

s?0

?2?r3;r?a??3a半径为 r 的圆柱面内的电量为q?? 2?2?a;r?a??3因此，电场强度为

?r2;r?a??3a?0 Er??2a?;r?a??3?0r2-7. 在直角坐标系中电荷分布为

??0;x?a?(x,y,z)??

0;x?a?求电场强度。

解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，

取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为

?2xS?0;x?aq??

2aS?;x?a0???0x;x?a???因此，电场强度为 Ex??0 题2-9图

?0a?;x?a???0题2-7图

2-8. 在直角坐标系中电荷分布为

?(x,y,z)???x;x?a

?0;x?a求电场强度。 解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面

?x2S;x?a积为 S的电通量为Ex2S,方形封闭面内的电量为 q??2

aS;x?a???x2?x2;0?x?a?;?a?x?0???2?0?2?0因此，电场强度为 Ex?? Ex??22?a0???a;x??a;x?a??2?0?2?0?

2-9.在电荷密度为?（常数）半径为a的带电球中挖一个半径为b的球形空腔，空腔中心到带电球中心的距离为c(b+c

解:由电场的叠加性,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为

???REa?3?0

完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为

???rEb??3?0

所以，空腔中某点的电场为

????????cE?Ea?Eb?(R?r)?3?03?0?c为从球心指向空腔中心的矢量。

2-10.已知电场分布为

?2x?x;?b/2?x?b/2?b???;x?b/2 E??x??;x?b/2?x??求电荷分布。

?解:由??E??/?0得

2????0;x?b/2???0??E??b

??0;x?b/22-11. 已知在圆柱坐标中，电场分布为

?Cr???;a?r?b E??r??0;r?a,r?b求电荷分布。

?解: 由??E??/?0得

????0??E?0

在r=a,r=b的面上，电场不连续，有面电荷.电荷面密度为

?s?Dn??0En????Ax?B

??0C/a;r?a

???0C/b;r?b2-12.若在直角坐标系中电位为 其中A，B均为常数，求电荷密度。 解:由?2????/?0得

????0?2??0

2-13.分别计算方形和圆形均匀线电荷在轴线上的电位。 (a) (b)

解:(a) 方形均匀线电荷在轴线上的电位 对于方形，每条边均匀线电荷的电位

Ld2?()2?L/2??dx'2 ?(d)?l??lln224??0?L/2d?x'4??0Ld2?()2?L/22222其中 d?z?(L/2)

L/2方形均匀线电荷在轴线上的电位为

?lz2?L2/2?L/2?(z)?ln

22??0z?L/2?L/2(b) 圆形均匀线电荷在轴线上的电位

??(z)?l4??02??0ad?'a?z22?a?l2?0a?z22

2-14.计算题2-5给出的电荷分布的电位。

解: 题2-5给出的电荷分布的电场为

?r3;r?a?25?a? Er??302a?5ba?;r?a2??5?0r由电位的定义,电位为

??(r)??Erdr

r对于r>a

a3?5ba2a3?5ba2?(r)??dr?25?0r5?0rr对于r

?a?

??(P0为常数）。2-15.半径为a，长度为L的圆柱介质棒均匀极化，极化方向为轴向，极化强度为P?P0z求介质中的束缚电荷以及束缚电荷在轴线上产生的电场。 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为?'????P?0

???P (2) 介质表面的束缚电荷面密度为?'s?n在圆柱介质棒的侧面上束缚电荷面密度为零;在上下端面上束缚电荷面密度分别为?'s(3) 上下端面上束缚电荷产生的电场

由例题2.2, 圆盘形电荷产生的电场为

a3?5ba2r3a2?5baa2r4?(r)??dr??dr???225?020?020?0a25?0rar5?0a?

??P0.

z'??s(1?);z'?0?22?2?z'?a Ez(z')??0?sz'??(1?);z'?022?z'?a?2?0式中a 为圆盘半径。将坐标原点放在圆柱介质棒中心。 对上式做变换,z'?z?L/2,?s?P0,可上端面上束缚电荷产生的电场为

z?L/2?P0(1?);z?L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez1(z)??P0z?L/2??(1?);z?L/2222?0?(z?L/2)?a?同理,做变换,z'?z?L/2,?s??P0,可下端面上束缚电荷产生的电场为 z?L/2??P0(1?);z??L/2?2?22(z?L/2)?a?0 Ez2(z)??P0z?L/2?(1?);z??L/2222??(z?L/2)?a?0上下端面上束缚电荷产生的总电场为

?P0z?L/2z?L/2?(?);z?L/222222?0(z?L/2)?a?(z?L/2)?a?z?L/2z?L/2?PEz??0(?2??);?L/2?z?L/2

2222(z?L/2)?a(z?L/2)?a?2?0?P0z?L/2z?L/2(?);z??L/2?22222?0(z?L/2)?a(z?L/2)?a??

??，求束缚电荷分布及束缚电荷在球中心产生的电场。 P?P0z??'????P?0 解: (1)介质中的束缚电荷体密度为

2-16.半径为a的介质球均匀极化，

(2) 介质表面的束缚电荷面密度为 ?'s在介质球表面取半径为r???P0?P0cos? 题2-16图 ??r?n?P?z(3) 介质表面的束缚电荷在球心产生的电场

?asin?宽度为dl?ad?的环带,可看成

半径为r?asin?,z??acos?,电荷线密度为?l?aP0cos?d?的线电荷圆环,例2.1给出了线电荷

圆环的电场,对?积分得

P0?P0?P0a3sin?cos2?d?2Ez???cos?dcos??223/22?0?2?0?3?00[(asin?)?(acos?)]0

2-17.无限长的线电荷位于介电常数为?的均匀介质中，线电荷密度?l为常数，求介质中的电场强度。 解: 设无限长的线电荷沿 z轴放置, 利用高斯定理,容易求得介质中的电场强度为

E???l2??? ?为场点到线电荷的距离.

2-18. 半径为a的均匀带电球壳，电荷面密度?s为常数，外包一层厚度为d、介电常数为?的介质，求介质内外的电场强度。

解:由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，利用高斯定理

????D?dS?q

S上式左右两边分别为 4?r2Dr?4?a2?s

a2?s由此得 Dr?r2