电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）(5)

F1?q1q'216??1h2 F2?q'1q216??2h2

(a) (b) (c) 题2-41图

2-42.真空中半径为a的导体球电位为V，求电场能量。 解：用两种方法求解。 1） 用电位求电场能量

We?11?q??2C?2??0aV2 22aVr22） 用电场强度求电场能量

导体球内的电场强度为零，导体球外的电场强度为

Er?

电场能量为

11aVWe?????0E2dV??0?(2)24?r2dr?2??0aV2

22arV2-43.圆球形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1、

??2的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。

解：设圆球形电容器内导体上的电荷为 q，由高斯定理可求得在内外导体之间

Dr?q4?r2b

从而可求得内外导体之间的电压为

cbV??Erdr??(Dr/?1)dr??(Dr/?2)dr?aacq111111{(?)?(?)} 4??1ac?2cb圆球形电容器的电容为

C?q?V4??1?2

1111?2(?)??1(?)accb2??1?2V2

1111?2(?)??1(?)accb电场能量为

1We?V2C?2

2-44. 长度为d的圆柱形电容器内导体的外半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1、?2的介质，界面半径为c，电压为V。求电容器中的电场能量。 解：设圆柱形电容器内导体上的电荷为q，用高斯定理，在内外导体之间

Dr?q2?rd

内外导体之间的电压为

bcbV??Erdr??(Dr/?1)dr??(Dr/?2)dr?aacq1c1b{ln?ln} 2?d?1a?2c内外导体之间的电容为

2??1?2d

cb?2ln??1lnac12电场能量为 We?VC?2C?q?V2-45.两尺寸为a×a的平行导电平板之间距离为d，带电量分别为?q,当将介电常数为?的介质板插入导电板之间深度为x时，分别求介质板所受的电场力。 a ? x

题2.45图

解：设空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电荷密度分别为?2??1?2dV2cb?2ln??1lnac

?s1、??s2由导体边界条件得

，因此

D1??s1，D2??s2；由介质边界条件得E1?E2或

D1?1?D2?2?s2??2?s1 ?1?S1?s1?a(a?x)?s1，

空气填充部分和介质填充部分导电平板上的电量分别为q1q2?S2?s2?ax?s2。由q?q1?q2及?s2??2?s1得 ?1

?s1??1qa(a?x)?1?ax?2 ?s2??2qa(a?x)?1?ax?2平行导电平板之间的电场能量为

121q2d2We?(q1/C1?q2/C2)?{}

22a(a?x)?1?ax?2由虚功原理，对于常电荷系统，介质所受的沿x方向电场力为

?Weq2ad(?2??1) F?????xq?c2[a(a?x)?1?ax?2]3-1

第三章 恒定电流场

半径为a的薄圆盘上电荷面密度为?，绕其圆盘轴线以角频率?旋转形成电流，求电流面密度。

??? 解：Js??sv??sr??3-2

平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质，厚度分别为d1,d2d3,电导率分别为?1,?2,?3，平

板面积为S，如果给平板电容器加电压V，求平板之间的电场。

解：设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场，分别为E1、E2、E3，根据电压关系和边界条件，E1、E2、E3满足以下关系

E1d1?E2d2?E3d3?VE1?1?E2?2?E3?3

解此方程组得

E1??2?3V

?2?3d1??1?3d3??1?2d3?1?3VE2?

?2?3d1??1?3d3??1?2d3?2?1VE3?

?2?3d1??1?3d3??1?2d3在§3.3例2中，如果在弧形导电体两弧面之间加电压，求该导电体沿径向的电阻。

3-3

??，解：设流过两弧面的电流为I。作以与两弧面同轴的半径为r的弧面，流过此弧面的电流密度为J?J???则由 I???J?dS 得

SI??2brJ

由此得 J?2I ?brE?J??2I

??brc?a2Ia?c ln???bccV2a?c该导电体沿径向的电阻为 R? ?lnI??bc两弧面之间的电压为 V?Edr?4-3 球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层介电常数分别为?1,?2，电导分别为?1,?2的非理想介质，两层非理想介质分界面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场

及界面上的电荷密度。

解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆球形电容器内取一半径为r的

????球面，流过此球面的电流密度为J?J?，则由I???J?dS得

SI?J4?r2 或 J?电场强度为

I4?r2I

4??1r2Ib?r?c E2?4??2r2bca?r?b E1?

电压为 V??E1dr??E2dr?abI111111{(?)?(?)} 4??1ab?2bc由此求出电流与电压的关系后，电场为

E1?1

1111r2?2(?)??1(?)abbc?1V1 E2?1111r2?2(?)??1(?)abbc?2V内导体表面的电荷密度为

?s1?D1n(r?a)??1E1?外导体内表面的电荷密度为

11111a2?2(?)??1(?)abbc?1?2V

?s2?D2n(r?c)???2E2??媒质分界面的（驻立）电荷密度为

11111c2?2(?)??1(?)abbc?2?1V

?s3?D2n?D1n??2E2??1E1?3-5 求3-2题中电容器的漏电导。

解：由3-2题得

(?1?2??2?1)V11111b2?2(?)??1(?)abbc

E1??2?3V?2?3d1??1?3d3??1?2d3

流过电容器的电流为

?1?2?3VS?2?3d1??1?3d3??1?2d3?1?2?3SI所以 G? ?V?2?3d1??1?3d3??1?2d3I?J1S??1E1S?

3-6 求3-4题中圆球形电容器的电容及漏电导。

解：此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。

C1?4??111?ab；C2?4??211?bc；G1?4??111?ab；G2?4??211?bc

3-7 分别求3-2题及3-4题中电容器的损耗功率。 解：（1）3-2题

?1?2?3SV2P?VI?VG??2?3d1??1?3d3??1?2d32

（2）3-4题

3-8 边长均为a的正方体导电槽中充满电导率为?的电解液，除导电板盖的电位为V外，槽的其余五个边界面

电位为零。求电解液中的电位。

解：此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同，因此其解也与题2-33相同。 3-9 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为?的大地中，如图所示。求接地电阻。

V24?V2P?VI??Rb?ac?b??1ab?2bc

??解：设从地线流出的电流为I，在大地中作与导体球同心，半径为r的半球面，在此半球面上电流密度J?Jr相同，显然满足关系

J?I2?r2

电场强度为 E?J/??aI2??r2

导电球的电位为 V??Edr??I2??a

因此导电球的接地电阻为

R?V1 ?I2??a地面空气

题3-9图

3-10 在电导率为?的大地深处，相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之间单位长度的漏电导。

解：用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟，其电导与电容的关系为

?aG??C ?因为介质中的平行双导线单位长度的电容为

C?lnG?ln

??D?D?4a2a22

因此，埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为

??D?D?4a2a22

第四章 恒定磁场

4-1.真空中边长为a的正方形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。

解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为