电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）(4)

x3在0?x?d ?1???c1x?c2

6?0在x?0 ?2?c3x?c4 在x?d ?3?c5x?c6 设?(x?0)?0，根据边界条件 ?1??2当

d?1d?2d?1d?3; ??x?0x?ddxdxx?0dxdxx?d??x??时，电荷分布可看成薄层，薄层外电场具有对称分布，E2??E3，即

?0;?1??3;

?d?3d?2 ?dxx???dxx??

d2d3得c2?c4?0;c1?c3??c5?;c6?4?03?0?d2x;x?0?4?0?d2?x3?x;0?x?d 即 ?(x)????6?04?0?d2d3??4?x?3?;x?d00?2-32.两块电位分别为0和V的半无限大的导电平板构成夹角为?的角形区域，求该角形区域中的电位分布。

解：由题意，在圆柱坐标系中，电位仅是?的函数，在导电平板之间电位方程为

1d2?????0 2?d?其通解为 ??c1??c0

由边界条件?(??0)?0;?(???)?V，得

V???

???V c 2

? b ??0 a 题2.32A图 题2.31图

2-33.由导电平板制作的金属盒如图所示，除盒盖的电位为V外，其余盒壁电位为0，求盒内电位分布。 解：用分离变量法，可得电位的通解为

??(x,y,z)?n,m?1?Amnsinm?n?xsiny(e??z?Bmne?z) acm?2n?)?()2 ac利用边界条件?(z?0)?0;?(z?b)?VBmn??1

??(，可求出系数

Amn?Amn16V （m、n为奇数）

mn?2sh(?b)?0 （m、n为偶数）

题2-33图 题2-34图 2-34.在E??的匀强电场中沿z轴放一根半径为a的无限长导电圆柱后，求电位及电场。 ?E0x?解：由分离变量法，无限长导电圆柱外的电位的通解为

?(?,?)?c0ln??d0??(cm?m?dm??m)(cosm??bmsinm?) （1）

m?1设?(??0)?0，当???时的电位等于无导电圆柱的电位，即

0??dx??E0x??E0?cos??(???)??0(???)??E0?xx （2）

要使式（1）的电位在???时等于式（2），可得到系数

c1??E0，cm?1?0，bm?0，d0?0 再由导体界面的边界条件?(??a)?0得 d1?a2E0,dm?1?0

因此，电位的特解为

?(?,?)??E0(??方的电场。

a2?)cos?

2-35.在无限大的导电平板上方距导电平板h处平行放置无限长的线电荷，电荷线密度为?l，求导电平板上解:用镜像法,导电平板的影响等效为镜像位置的一个电荷线密度为-?l的线电荷, 导电平板上方的电场为

????lr1r2E?(?2)

12??0r1r2??式中r1、r2分别为线电荷及其镜像线电荷到场点的距离矢量。

?2-36.由无限大的导电平板折成45的角形区，在该角形区中某一点(x0,y0,z0)有一点电荷q，用镜像法求电位分布。

解：如图将空间等分为8个区，在每个区中以原来的导电面为镜面可以依次找到镜像位置，原电荷的位置为(x0,y0,z0)，在圆柱坐标系中为(?0,?0,z0)，另外7个镜像电荷在圆柱坐标系中的坐标为

?i??0;zi?z0 i?1,?7

?1?900??0;?2?900??0;?3?1800??0;?4?1800??0;?5?2700??0;

?6?2700??0;?7???0

镜像电荷为q1??q;q2?q;q3??q;q4?q;q5??q;q6?q;q7??q 对于场点(x,y,z)，电荷到场点的距离矢量为 ???(y?yi)y??(z?zi)z?；i?0,?7 ri?(x?xi)x???q7ri则场点的电场为E(r)??

4??0i?0ri3

题2-36图 题2-37图

2-37.半径为a，带电量为Q的导体球附近距球心f处有一点电荷q，求点电荷q所受的力。

解：点电荷q 受到的力（场）有两部分，一部分等效为镜像电荷q'的力，另一部分等效为位于球中心的点电荷q\的力。由镜像法，镜像电荷q'的大小和位置分别为

aa2q'??q;d?ff

由于包围导体球的总电量为Q，所以位于位于球中心的点电荷q\=Q-q';因此点电荷q 受到的力为

?qQ?aq/faq/f?F?x[?] 224??0f(f?d)2-38.内外半径分别为a、b的导电球壳内距球心为d(d

(1)导电球壳电位为零； (2)导电球壳电位为V；

(3)导电球壳上的总电量为Q； 分别求导电球壳内外的电位分布。 解：（1）导电球壳电位为零

由于导电球壳电位为零，导电球壳外无电荷分布，因此导电球壳外的电位为零。 导电球壳内的电位的电位由导电球壳内的点电荷和导电球壳内壁上的电荷产生，而导电球壳内壁上的电荷可用位于导电球壳外的镜像电荷等效，两个电荷使导电球壳内壁面上的电位为零，因此镜像电荷的大小、距球心的距离分别为

a2aq'??q；f?dd导电球壳内的电位为

??q4??0{qq'?} r1r2

其中r1、r2分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离，用圆球坐标表示为

r1?r2?d2?2rdcos?a22a2r2?r?()?2r()cos?dd2

（2）导电球壳电位为V

当导电球壳电位为V时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，其电位满足

??c r?bVr

利用边界条件得 ?导体球壳内的电位可看成两部分的叠加，一部分是内有点电荷但球壳为零时的电位，这一部分的电位同前；另一部分是内无点电荷但球壳电位为V时的电位，这一部分的电位为V。因此导电球壳电位为V时，导电球壳内的电位为

4??0其中r1、r2分别为场点与点电荷及镜像电荷的距离。

(3)导电球壳上的总电量为Q

当导电球壳上的总电量为Q时，从导电球外看，导电球面是等位面，且导电球外的电位是球对称的，导电球壳内的总电量为Q+q,其电位满足

??q{qq'?}?Vr1r2

??Q?q4??0r

导电球壳上的电位为U?Q?q

4??0b

同上得，导电球壳内的电位为

??q4??0{qq'?}?Ur1r2题2-38图 题2-39图

2-39.无限大导电平面上有一导电半球，半径为a，在半球体正上方距球心及导电平面h处有一点电荷q，求该点电荷所受的力。

解：要使导体球面和平面上的电位均为零，应有三个镜像电荷，如图所示。三个镜像电荷的电量和位置分别

aa2a2;?q',z??;?q,z??h 为q'??q,z?hhh点电荷q所受的力为三个镜像电荷的电场力，即

??q2a/ha/h1F?z{???} 222224??0(h?a/h)(h?a/h)(2h)力的正方向向上。

2-40. 无限大导电平面上方平行放置一根半径为a的无限长导电圆柱，该导电圆柱轴线距导电平面为h，求导电圆柱与导电平面之间单位长度的电容。

?l，导电平面可用镜像位置的线电荷等效，镜像电荷线密度为-?l。

由导体圆柱的镜像法可求得导体圆柱的电位?，那么，单位导体圆柱与导电平面之间的电容为

?2??0 C?l?22?h?h?aln()a解：如果无限长导电圆柱上有电荷线密度

题2-40图

2-41. z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，在界面两边距界面为h的对称位置分别放置电量分别为q1和q2的点电荷。分别计算两个点电荷所受得力。

解：利用镜像法，计算z>0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(b)，计算z<0半空间的场时，原来的问题可等效为图2-41(c)。这样上半空间的电位可表示为

?1?14??114??2(q1q'2?) r1r2q2q'1?) r3r4式中r1为q1到场点的距离，r2为q1的镜像位置的电荷q'2到场点的距离；下半空间的电位可表示为

?2?(式中r3为q2到场点的距离，r4为q2的镜像位置的电荷q'1到场点的距离。利用边界条件，

ss(q1?q'2)/?1?(q'1?q2)/?2 (q1?q'2)?(q'1?q2)

由此得

?1??2和D1n?D1n得

q'1?q'2?2?2???2q1?1q2

?1??2?1??22?1???2q2?1q1

?1??2?1??2q1和q2所受的斥力分别为