电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）

第一章 矢量场

?????3y??z??y??2z??y??z?;B?x?;C?3x? 1.1 A?2x????????求:(a) A ； (b) b ； (c) A?B ； (d) B?C ； (e) (A?B)?C ???(A?B)?C (f)

?1222222??B??y??2z?) (x解：(a) A?Ax?Ay?Az?2?3?1?14; (b) b??6B??????7y??4z? ( c) A?B?7; (d) B?C??x?????2y??4z? (A?B)?C?2x(e)

???(A?B)?C??19 (f)

????????z??3???2z? ?; B???1.2 A?2????????求:(a) A ； (b) b ； (c) A?B ； (d) B?A ; (e) A?B

??12????);(c) A?B?3??4 (???3??2z解：(a) A?5??;(b) b?14????3???(??6)z? (d) B?A?(3?2?)?????(??3)???z? (e) A?B??????2??? ?; B?r????????1.3 A?2r???????求:(a) A ； (b) b ； (c) A?B ； (d) B?A ; (e) A?B

??12???(r???) ； (c) A?B?2??2 ； 解：(a) A?4?5? ； (b) b?1??2????2???2???3??? ; (e) A?B?3r??2??? (d) B?A?2?r????2y??z?; B??x??y??3z? 1.4 A?x??当A?B时，求?。

????解：当A?B时，A?B=0, 由此得 ???5

???,F2(x,y,z)?y?分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表1.5 将直角坐标系中的矢量场F1(x,y,z)?x示。

解：(1)圆柱坐标系

???cos????sin???????sin?;F2?y????cos? 由(1.2-7)式，F1?x(2)圆球坐标系

??cos?cos?????r?sin?cos????sin? 由(1.2-14)式, F1?x??cos?sin?????r?sin?sin????cos? F2?y

????用直角坐标系中的坐标分量表示。 1.6 将圆柱坐标系中的矢量场F1(?,?,z)?2?,F2(?,?,z)?3??2??2cos?x??2sin?y????yy?) 解：由(1.2-9)式，F1?2?(xx22x?y?3???3sin?x??3cos?y????xy?) F2?3?(?yx22x?y???用直角坐标系中的坐标分量表示。 ?1.7将圆球坐标系中的矢量场F1(r,?,?)?5r,F2(r,?,?)???5??sin?sin?y??cos?z??yy??zz?)??)F1?5(sin?cos?x(xx222解：由(1.2-15)式， x?y?z???xy???yy??zz??yxxx??cos?sin?y??sin?z?)????r??F2?(cos?cos?x?x2?y2x2?y2?z211??yzy??(x2?y2)z?} ?{xzx22222x?y?zx?y1.8求以下函数的梯度：

(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6

f(?,?,z)?2sin???z?4

(c) f(r,?,?)?2rcos??5??2

??10xy??xz? 解：(a) ?f?(5?10y?z)x2cos??????z? ?f??z??(b)

(b)

?5? ?rsin??12??y?)方向的变化率。 (x1.9 求标量场f(x,y,z)?xy?2z在点(1,1,1)沿l?2?f1??f?l??(y?x) 解：?l2(c)

????2sin???f?2cos?r

??1.10 在球坐标中，矢量场F(r)为 ??k? F(r)?2rr??其中k为常数，证明矢量场F(r)对任意闭合曲线l的环量积分为零，即 ???F?dl?0

????解：由斯托克斯定理, ?F?dl?????F?dS

lsl???k?)?0 所以 ?F?dl?0 因为??F???(2rrl1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。

1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。 1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。 1.14计算下列矢量场的散度

??zyy??xzz? ?yzx???zsin????2z? b) F??????r?? ??rcos??c) F?2r?解：(a) ??F?x?z

?zcos?(b) ??F?2?a) F??

(c)

?4cos2???F???sin?rsin?

1.15计算下列矢量场的旋度

??2yzy??z? ?xyx???sin??? b) F?2????sin??? ???c) F?rr???xz? 解： (a) ??F??2yx?sin??z (b) ??F?a) F???1?????sin???) (c) ??F?(2cos?rr1.16计算 a) ??,?r,?ekr?kr??b)??(??),??r,??(ke) ???) c)???,??r,??(z?

???????; ?????z????????z??????????; ?r?r?????r?rr??rsin????kekr ?ekr?ekr?(kr)?kekr?r?r?1?(??)?2; (b) ????????1?2??r?2(rr)?3;

?rr??kr???krkrkr?kekr ??(ke)?k??e?e??k?k??e?k?r???)??? (c) ????0;??r?0;??(z??????xy?，计算A?(??A) 1.17已知A?yx????;A?(??A)?0 解：??A??2z???1.18已知??F??(x)?(y)?(z),??F?0,计算F

??解：根据亥姆霍兹定理，因为??F?0，所以A?0

???1?'?F(r')1?(x')?(y')?(z')1?(r)?dV'?dx'dy'dz'????4????R4?R4?rVV解：(a) ?????

题2-2图F??????r? ?F?4?r2?0,??F?1.19已知??z??(x)?(y)?(z),计算F? ??F?解：根据亥姆霍兹定理，因为?0，所以?A??1?'?F??0

1?(x')??4????dV'??(y')?(z')zdx'dy'dz'?z4?r VR4????VRF????A??1??z??1(?1??1??z?)?z??r? ?4?r4?r?zr4?r21.20求矢量场F?????????zz?穿过由??10,????,0?z?1确定的区域的封闭面的通量。

解：根据高斯定理，矢量场F????????zz?穿过由??1,0????,0?z?l确定的区域的封闭面的通量

????F??dS???????F?dV

SV因为 ??F??1????(?F1?F??F?)?????z?z?3 所以

???????F?dV?3V?3?2l V2

第二章习题解

2-1.已知真空中有四个点电荷q1?1C，q2?2C，q3?4C，q4?8C，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，

(-1,0,0,)解：设r?，?(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。

R??z?,r1'?x?,?r'?y?,?r?x?,?23'?r??2'??y? 1?r?r1'??x??z?;R??????;R???2?r?r2'??y??z?;R3?r?r3'?x??z?4?r?r4'?y??z?

E??1(q1R?1q2R?2?q3R?3q4R?43x??6y??15z?4??2?22?2)?0R1R2R3R44??

08

2-2.已知线电荷密度为?l的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P点的电场强度。

(a) (b) (c)

?????解：(a) 由对称性E??E?1?E?2?E?3?E4?0

(b) 由对称性E?E1?E2?E3?0

(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为

???Ea?E1?E2??l?l??y?)?(?x??y?)}??? {(xy4??0a2??0a半径为a的半圆环线电荷产生的电场为

?l? y2??0a???总电场为E?Ea?Eb?0

2-3.真空中无限长的半径为a的半边圆筒上电荷密度为?s，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ad?的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为

?Eb??l??sad?,对?积分,可得真空中无限长的半径为a的半边圆筒在轴线上的电场强度为

???sar?d??s??s??? E???(?sin?y?cos?x)d???y?2??0a2??00??00题2-3图 题2-4图

2-4.真空中无限长的宽度为a的平板上电荷密度为?s，求空间任一点上的电场强度。 解: 在平板上

x'处取宽度为dx'的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为?l??sdx'，在点

(x,y)处产生的电场为 ??dx'1?s?dE(x,y)?

2??0?其中 ?(x?x')?y对x'积分可得无限长的宽度为a的平板上的电荷在点(x,y)处产生的电场为 ??s(x?a/2)2?y2x?a/2x?a/2?ln?E(x,y)?{x?y2(arctg?arctg)} 224??0yy(x?a/2)?y2-5.已知电荷分布为

?(x?x')2?y2?；????yy?(x?x')x22

?r2????a2;r?a

??0;r?a?s?b;r?a

r为场点到坐标原点的距离，a，b为常数。求电场强度。

解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理

??q??E?dS?s??2E?dS?4?rEr 等式左边为 ??s?0