电磁场与电磁波课后答案（冯恩信著）(6)

来源：网络收集时间：2026-09-09

导读： ??I?0B1?z2?a 因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为 ??4?0I?B?4B1?z 2?a 题4-1图题4-2图 4-2. 真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁� � 解：设垂直于纸面向下的方向为z方

??I?0B1?z2?a

因而，边长为a的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为

??4?0I?B?4B1?z

2?a

题4-1图题4-2图

4-2. 真空中边长为a的正三角形导线回路，电流为I，求回路中心的磁场。

解：设垂直于纸面向下的方向为z方向。由例4-1知，长为a的线电流I在平分线上距离为b的点上的磁感应强度为

??0I?B1?z4?baab2?()22

对于边长为a的正三角形，中心到每一边的距离为b点上的磁感应强度为

?3a/6，因而，边长为a的正方形导线回路在中心

??9?I?0B?3B1?z2?a

4-3. 真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I。求半圆中心处的磁场。

IIa(a)a(b) bIa(c)

题4-3.图

解：设垂直于纸面向内的方向为z方向。由例4-2知，半径为a的半圆中心处的磁场为

??I?0B1?z4a

（1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此

??I?0B?z4a

（2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a处的磁场为

??0I?B2?z 4?a因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和

??I?0(??2) B??z4?a（3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即

??I11?0(?) B?z4ab4-4. 在真空中将一个半径为a的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。电流为I，求半圆弧心处的磁场。

解：本题磁场为两相同半径但平面法线垂直的半圆环的磁场之和

??0I??y?) B?(x4a?分别为两半圆环平面的法向单位矢。 ?、yx4-5. 真空中半径为a的无限长导电圆筒上电流均匀分布，电流面密度为

Js，沿轴向流动。求圆筒内外的磁

场。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布。因此无限长导电圆筒内的磁场为零；无限长导电圆筒外的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆筒做一半径为?的圆环，利用安培环路定律

???B?dl??0I

l??相等，I?2?aJs，因此在圆环上磁场B?B??B???0I?0aJs?2???

4-6.如果上题中电流沿圆周方向流动，求圆筒内外的磁场。

解：由于导电圆筒内为无限长，且电流沿圆周方向流动，因此导电圆筒外磁场为零，导电圆筒内磁场为匀强磁场，且方向沿导电圆筒轴向，设为 z方向。利用安培环路定律，取闭合回路为如图所示的矩形，长度为L，则

???B?dl?BzL

lI?JsL

因此 Bz题4-6图

??0Js

??2?024-7.真空中一半径为a的无限长圆柱体中，电流沿轴向流动，电流分布为J?zJa，求磁感应强度。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此无限长载流导电圆柱的磁场可用安培环路定律计算。围绕无限长导电圆柱轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律

???B?dl??0I

l??左边 ?B?dl?B?2??l

??J0?4;??a????2?2a2右边 I???J?dS???J02?d?d??? 2?JaaS?0;??a??2??0J0?3;??a??4a2因此有 B??? 2?Ja?00;??a??4?4-8.在真空中，电流分布为

?0???a J?0

??? a???b J?zb?? ??b Js?J0z???b J?0

求磁感应强度。

解：由题意，电流具有轴对称分布，磁场也具有轴对称分布，因此磁场可用安培环路定律计算。围绕z轴线做一半径为?的圆环，利用安培环路定律

???B?dl??0I

l??左边 ?B?dl?B?2??l

??0;0???a33??2?(??a)右边 I??;a???b

3b?33?2?(b?a)?2?bJ;??b0?3b?因此有

??0;0???a?33??0(??a)B???;a???b

3b??b3?a3??0(?bJ0)/?;??b?3b?4-9.已知无限长导体圆柱半径为a，其内部有一圆柱形空腔半径为b，导体圆柱的轴线与圆柱形空腔的轴线

??，试求空腔中的磁感应强度。相距为c，如图所示。若导体中均匀分布的电流密度为J?J0z?解：利用叠加原理，空腔中的磁感应强度B为 ???B?B1?B2 ??B1为电流均匀分布的实圆柱的磁感应强度；B2为与此圆柱形空腔互补而电流密度与实圆柱的电流密度相反

的载流圆柱的磁感应强度。利用安培环流定律

式中?1、?2分别为从圆柱中心轴和圆柱空腔中心轴指向场点的矢量。因此

??0J0?J??1?00z???1 B1??1?22??J?J??2??00z???2 B2??00?2?22????0J0?J?????(?1??2)?00z??c B?z22?c为从圆柱中心轴指向圆柱空腔中心轴的矢量。

YaJbXc习题图4-9

??，求磁感应强度。 4-10.已知真空中位于xy平面的表面电流为Js?J0x解：由于在无限大的平面上有均匀电流，因此产生匀强磁场。磁场方向在y方向，跨电流面取一长为L的矩

形回路，利用安培环路定律得

B2L??0LJ0

因此 B??0J02

写成矢量形式为

??0J0?;z?0??y2B?? ?0J0??y?;z?02?题4-10图

??，如图所示，求磁感应强度。 J4-11.宽度为w的导电平板上电流面密度为s?J0yZwJXY题4-11图解：在空间取场点(x,z)，在导电平板上

x'位置取宽度为dx'的细长电流，在场点产生的磁场为

??0dI?0J0dx'???????[(x?x')x??zz?] dB?yy222??2?[(x?x')?z]导电平板上的电流产生的总场为

???0J0W/2(x'?x)z???zxB??dB??/2(x'?x)2?z2dx'

2??W?0J0(x?W/2)2?z2x?W/2x?W/2??ln?{z?x2(arctg?arctg)} 222?zz(x?W/2)?z4-12.半径为a的均匀带电圆盘上电荷密度为?0，圆盘绕其轴以角速度?旋转，求轴线上任一点的磁感应

强度。

???。在带电圆盘上取宽度为dr解：带电圆盘绕其轴以角速度?旋转，其上电流密度为Js??sv??sr??的小环，电流为dI??s?rdr，由例4-2知，在轴线上产生的磁场为 ??0r2dI?0?s?r3dr?? dB?z?z223/2223/22(r?z)2(r?z)旋转带电圆盘在轴线上产生的磁场为

a???B?z0?0?s?r3dr2(r?z)223/2??z?0?s?a2?2z22[a?z22?2z]

4-13.计算题4-2中电流的矢量磁位。解：首先计算载电流为I、长度为L1题4-13图矢量磁位为

?L2的直线在距离为d处的矢量磁位。设电流方向为l?，如图所示。

??0IA?4??Ldl??0I1?R?l4???L222L?L?d?I11?l?0ln24?z'2?d2?L2?L22?ddz'

对于等边三角形，L1?L2?a，d?3a。其中等边三角形的一条边在等边三角形中心的矢量磁位为 6??I2?3 A1?l?10ln4?2?3等边三角形的三条边在等边三角形中心的矢量磁位为

??I2?3???A?0ln(l1?l2?l3)?0

4?2?34-14. ※计算题4-3中电流的矢量磁位。

4-15. 一块半径为a长为d的圆柱形导磁体沿轴向均匀磁化，磁化强度为电流在轴线上产生的磁感应强度。

??，求磁化电流及磁化M?M0z??解：由于均匀磁化，J'???M?0圆柱形导磁体中的磁化体电流为零。圆柱形导磁体侧面的磁化面电流

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