电磁场与电磁波 课后答案（冯恩信 著）(3)

?a2?s;a?r?a?d?????r2因为D??E，所 以 Er??

a2?s?;r?a?d2???0r2-19.两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，求两导体球壳之间的电容。

解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为

Er?bq4??r2

两导体球壳之间的电压为

V??Erdr?aq11(?) 4??ab?q4??ab ?Vb?a两导体球壳之间的电容为 C2-20. 两同心导体球壳半径分别为a、b，两导体之间有两层介质，介电常数为?1、?2，介质界面半径为c，求两导体球壳之间的电容。

解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r的球面，采用高斯定理可得，

Dr?q4?r2

两导体球壳之间的电场为

?q;a?r?c2??4??1r Er??q?;c?r?b2??4??2r两导体球壳之间的电压为

bV??Erdr?aq11(?) 4??ab?q4??ab ?Vb?a两导体球壳之间的电容为 C2-21. 圆柱形电容器，内外导体半径分别为a、b，两导体之间介质的介电常数为?，介质的击穿场强为Eb，求此电容器的耐压。

解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有轴对称性，取半径为 r的柱面，忽略边缘效应，采用高斯定理，两导体球壳之间的电场为

Er?q2??rl

内导体表面上的电场最强，设等于击穿场强Eb，则q表示为

?Eb2??al。两导体球壳之间的电场用击穿场强EbEr?aEbrb

两导体球壳之间的耐压为

Vmax??Erdr?aEblnab a??4y??5z?，试求点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压。 ?3x??????E?0解：由于，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(0,0,0)到点(1,2,1)之

2-22.已知电场强度为E??间对E的线积分的路径可取沿如图所示的路径，点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的电压为

l题2-22图

2?1???dx??E?y?dy??E?z?dz?6 V??E?x1000?3?，试求点(a,?1,?1)与点(b,?2,?2)之间的电压。 2-23.已知在球坐标中电场强度为E?2rr????解：由于??E?0，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(a,?1,?1)到点?(b,?2,?2)之间对E的线积分的路径可取从(a,?1,?1)沿径向到点(b,?1,?1)，再从(b,?1,?1)沿球面

?到点(b,?2,?2)的路径，而第二条路径的切向与E垂直，线积分为零，因此

??b33(b?a) V??E?dl??2dr?balar?2?，试求点(a,?1,0)与点(b,?2,0)之间的电压。 ?2-24.已知在圆柱坐标中电场强度为E??????解：由于??E?0，从而?E?dl?0，即对E的线积分与路径无关，因此从点(a,?1,0)到点(b,?2,0)?之间对E的线积分的路径可取从(a,?1,0)沿径向到点(b,?1,0)，再从(b,?1,0)沿柱面到点(b,?2,0)的

?路径，而第二条路径的切向与E垂直，线积分为零，因此

??b2bV??E?dl??d??2ln

?ala2-25已知真空中一内外半径分别为a、b的介质球壳，介电常数为?，在球心放一电量为q的点电荷，求电

场强度。

ll??解：由题意，电场具有球对称结构。利用高斯定理??D?dS?q，在半径为r的球面上

Sq Dr?4?r2??由D??E得

?q;r?a,r?b??4??0r2Er??

q?;a?r?b??4??r2

2-26.有三层均匀介质，介电常数分别为?1,?2,?3,取坐标系使分界均平行于xy面。已知三层介质中均为

?????匀强场，且E1?3x?2z，求E2,E3。

???2z?，设第二、三层介质中的电场强度分别为 解：因为三层介质中均为匀强场，E1?3x????E3yy??E3zz??? ?； E3?E3xxE2?E2xx?E2yy?E2zz由边界条件E1t由边界条件D1n?E2t可得 ?D2n， 可得

E2x?E3x?E1x?3， E2y?E3y?E1y?0

D2z?D3z?D1z?2?1，即E2z?2?1/?2；E3z?2?1/?3

????2?1/?2z?，E3?3x??2?1/?3z? 所以 E2?3x题2-27图 题2-28图

2-27.半径为a的导体球中有两个半径均为b的球形腔，在其中一个空腔中心有一个电量为q的点电荷，如图所示，求导体球腔中及球外的电场强度。

?解：（1）在有点电荷的空腔中，由于对称性，电场强度为E1??qR14??0R12?R，1为从空腔中心指向该空腔

中场点的位置矢量。

（2）在另一没有点电荷的空腔中，由于静电屏蔽，该空腔中的电场强度为零。

（3）在导体球外，由于导体球为等位体，除了导体球面上外，导体球外没有电荷，因此导体球外电场具有球对称性，且导体球上的电量为q,所以导体球外的电场强度为

Er?

q4??0r2 r为导体球心到场点的距离。

2-28.同轴圆柱形电容器内外半径分别为a、b，导体之间一半填充介电常数为?1的介质，另一半填充介电常数为?2的介质。当电压为V时，求电容器中的电场、电容及电荷分布。

解：设内导体上的电量为q,在内外导体之间取半径为 r的圆柱面，利用高斯定理

????D?dS?q

S在两个半柱面上，电场强度分别相等，上式变为

2?rl(?1E1r??2E2r)?q

由介质边界条件E1r?E2r?Er，可得

qEr?

2?l(?1??2)rb内外导体之间的电压为 V??Erdr?aq2?l(?1??2)lnb a由此得q?2?l(?1??2)Vblna

；从而得

brlnaq2?l(?1??2)C??

bVlna??，电荷分布为 由?s?D?n??1V??2V;r?a;r?a??bb?aln?aln??aa；?2介质侧?s?? ?1介质侧?s???1V?2V????;r?b;r?bbb?bln?bln??aa??2-29.z>0半空间为介电常数为?1的介质，z<0半空间为介电常数为?2的介质，当

(1)电量为q的点电荷放在介质分界面

(2)电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面 求电场强度。

解：（1）电量为q的点电荷放在介质分界面

以点电荷为中心作以半径为r的球，利用高斯定理

Er?V????D?dS?q

S??设上、下半球面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半球面上大小分别相等，有

2?r2(D1n?D2n)=q

根据边界条件E1t?E2t，因此

En?

q2?(?1??2)r2（2）电荷线密度为?l的均匀线电荷放在介质分界面

以线电荷为轴线作以半径为r单位长度的圆柱面，利用高斯定理

????D?dS??l

S??设上、下半柱面上的电位移矢量分别D1、D2，根据对称性，在上、下半柱面上大小分别相等，有

?r(D1n?D2n)=?l

?r(?1E1n??2E2n)=?l

根据边界条件E1n?E2n，因此

En??l?(?1??2)r

2-30.面积为A，间距为d的平板电容器电压为V，介电常数为?厚度为t的介质板分别按如图a、b所示的方式放置在两导电平板之间。分别计算两种情况下电容器中的电容、电场及电荷分布。

题2-30图

??解：（a）设导体板之间介质与空气中的电场分别为Ee、E0，那么Ee、E0满足关系 Eet?E0(d?t)?V

?Ee??0E0 （边界条件）

求解以上两式得

Ee?Vt??r(d?t)； E0??rV

t??r(d?t)根据导体表面上的边界条件?s?Dn，在上、下导体表面上的电荷面密度为

电容为 C?V ?s??t??r(d?t)?sA?V??AS

t??r(d?t)?Dn，在上、下导体板与空气的界面上的电荷面密度为

(b) 由图可见，导体板之间介质与空气中的电场为

E?V/d

根据导体表面上的边界条件?s?0s???0V/d

在上、下导体板与介质的界面上的电荷面密度为

?es???V/d

?0sA0??esAe?0A(a?t)?At??电容为 C?

Vadad2-31.电荷分布为

?0;x?0??(x)??x;0?x?d

?0;x?d?在x=0处电位为0，求电位分布。

解：由电荷分布可知，电位仅是x的函数，电位满足的方程为

d2???x/?0;0?x?d??2dx?0;x?0,x?d其 …… 此处隐藏：1834字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……