八年级数学上册第四章《一次函数》教案(8)

一次函数在现实生活中有非常重要的作用,怎样建立一次函数关系式,并用来解决实际问题呢?今天我们来学习用待定系数法确定一次函数表达式.

[过渡语] 一次函数的关系式y=kx+b(k≠0)中,如果知道k与b的值,函数表达式就确定了,那么由怎样的条件才能求出k和b的值,从而确定一次函数的表达式呢? 一、确定一次函数的表达式 出示教材图4 - 6及问题.

某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.

(1)写出v与t之间的关系式; (2)下滑3 s时物体的速度是多少? 【分析】 要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定它是正比例函数的

图象,还是一次函数图象,然后设出函数关系式,再把已知的坐标代入关系式,求出待定系数即可. 二、例题讲解

(教材例1)在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.

〔解析〕 因为一次函数的图象是一条直线,两点确定一条直线,所以需要两

个条件,而正比例函数的图象是经过原点的一条直线,所以只需要确定另外一点坐标就可以确定这条直线的关系式.

解:设y=kx+b(k≠0),根据题意,得14.5=b,① 16=3k+b.②

将①代入②,得k=0.5.

所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5. 当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5.

即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm. [知识拓展] 利用待定系数法确定一次函数的关系式,其步骤为:一设:根据题意,先

设出函数关系式为y=kx+b(k≠0);二代:确定两对对应值或图象上两个点的坐标,分别代

入函数关系式,得到关于k,b的两个方程;三解:求出k,b的值(暂时可以通过等量代换的方式去求两个未知数);四定:最后确定函数关系式.

确定一次函数表达式的方法:由问题的实际意义直接确定出函数表达式的一般形式:若为正比例函数,则设其表达式为y=kx(k≠0),代入一个除原点以外的点的坐标,求出k的值,即可确定函数表达式;若为一般的一次函数,则设其表达式为y=kx+b(k≠0),代入两个点的坐标,求出k,b的值,从而确定一次函数的表达式.

1.已知一次函数y=kx-4的图象经过点P(2,-1),则函数的解析式为 答案:y=2x-4 答案:y=x+1

3.要确定正比例函数y=kx的解析式,只需除原点外 确定y=kx+b的解析式,则至少需要 答案:1 2

3

.

.

2.一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),则函数的表达式为 个点的坐标,而

个点的坐标.

4.如图所示,直线l是一次函数y=kx+b的图象. (1)图象经过点 (0, (2)函数的解析式是 (3)当x=10时,y= 答案:(1)3 0 3)和点(4, ; );

. (2)y=-4x+3 (3)-42 第1课时

1

1.确定一次函数的表达式. 2.例题讲解.

一、教材作业 【必做题】

教材第90页习题4.5第1,2题. 【选做题】

教材第90页习题4.5第4题.

二、课后作业 【基础巩固】

1.一根蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧剩下的长度y厘米与燃烧时间x小时的函数关系用图象表示为下图中的 ( )

( 2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,那么k,b的值分别是

)

A.k=-21

,b=1 B.k=C.k==2 ,21-2,b=1 ,b=1

D.kb=1

3.一个正比例函数的图象经过点(2,-3),则其表达式是 ( )

A.y=-23

x B.y=C.y=2x D.y=-3x 32

x

4.已知直线l经过点(0,3)和点(3,0),求直线l的解析式.

【能力提升】

5.如图所示,直线y=kx+b交坐标轴于A (-3,0),B(0,5)两点,则不等式-kx-b

( )

A.x>-3 B.x<-3 C.x>3 D.x<3

6.已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为 ( )

A. 3 B.± 3 C. 2 D.± 2 7.已知直线y=kx+b与直线y=2x平行,且它与直线y=5x+4的交点在式是 ( )

A.y=4x+2 B.y=2x+5 C.y=2x+4 D.y=5x+2

<0的解集为轴上,则其函数表达y8.已知一次函数y=kx+b的图象经过(0, 2),(1,3)两点,若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),则a= .

9.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3. (1)求一次函数的解析式;

(2)将该函数图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴的交点坐标. 【拓展探究】

10.已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P(-2,2),且一次函数的图象与y轴相交于点Q(0,4).

(1)求这两个函数的表达式;

(2)在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象; (3)求出ΔPOQ的面积. 【答案与解析】

1.B(解析:蜡烛剩下的长度随时间增大而缩短,根据实际意义可知选B.)

2.B(解析:因为一次函数y=kx+b的图象经过y轴上纵坐标为1的点,所以b=1,即y=kx+1.又因为图象经过点 2,0 ,所以2k+1=0,解得k=-2.所以k=-2,b=1.) 3.A 5.A

6.B(解析:先将(1,k)代入y=kx+b,得b=0,再将(k,3)代入 y=kx+b,可得k的值.)

7.C(解析:因为直线y=kx+b与直线y=2x平行,所以k=2,又因为与y轴的交点坐标为(0,4),所以b=4,所以这条直线的函数表达式为y=2x+4.故选C.)

8.-2(解析:由题意得b=2,k+b=3,解得b=2,k=1,则y=x+2,当y=0时,x=-2,即a=-2.) 9.解:(1)将x=2,y=-3代人y=kx-4,得-3=2k-4,∴k=2,∴一次函数的解析式为y=2x-4. 1

1

1

1

1

1

4.解:直线l的解析式为y=-x+3.

(2)将

y=2x-4的图象向上平移6个单位长度得y=2x+2的图象,当y=0时,x=-4. ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(-4,0).

10.解:(1)设正比例函数表达式为y=k1x,一次函数表达式为y=k2x+4,将(-2,2)分别代入可得2=-2k1,2=-2k2+4,解得k1=-1,k2=1,∴函数表达式分别为y=-x及y=x+4. (3)ΔPOQ的面积=2×2×4=4.

1

(2)根据过点

(-2,2),(0,4)可画出一次函数图象,根据过点(0,0),(-2,2)可画出正比例函数图象,画图略.

确定函数解析式看似简单,但学生在刚刚接触到这个问题的时候往往无从下手.本课时正是基于这点认识,借助引例,首先从方法上指导学生确定函数解析式,即从判断类型、确定k值(或k和b的值)两个方面确定函数解析式.

本课时的例1在确定解析式的过程中,没有向学生说明为什么此时不能列出正比例函数解析式.

由于学生此时尚没有学到二元一次方程组,对于确定一次函数解析式存在一定的困难,教师可以

建议学生用“代换”的方式,转化为一元一次方程,以此求出一次函数解析式当中的两个未知数,进而确定一次函数的解析式.

随堂练习(教材第89页)

1.解:由题意设直线l的表达式为y=kx(k≠0),则3=-k,所以k=-3,所以直线l的表达式为

y=-3x.点A,B在该函数的图象上.

2.解:由题意把(-1,1)代入y=2x+b中,得1=-2+b,所以b=3,所以y=2x+3.点B和点C在该函数图象上,点D不在. 3.(1)-18 1.解:a=2.

(2)-42

习题4.5(教材第90页)

2.提示:k=-3,b=1,所求三角形的面积为8.

4

3

3.解:有道理,当一次函数中x增加1时,y就增加[k(x+1)+b]-(kx+b)=k.因此,当x从1变成2时,函数值从3变为5,则k=5-3=2,所以小明确定k的方法有道理.

4.解:(1)设这个一次函数的关系式为v=kt+b(k≠0),由题意得25=k×0+b,5=2k+b,解得

k=-10,b=25.所以v=-10t+25. 达到最高点.

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