学案练习 数学人教版选修2-1 第三章 空间向量(4)

????②定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向

??量a,b共面的充要条件是存

§3.1 空间向量及其运算（复习）

在 ， 使得 . ③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O，有

??7. 向量的数量积：a?b? .

8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得

????a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a

??的坐标，记着p? . ????10. 设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .

学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运

算，向量的数量积运算及其坐标表示；

2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题. 11. 向量的直角坐标运算：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷a·b＝

自我评价 典型例题 ?????1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量

点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的OC?c，的模； 叫零向量，记?????中点，则N ? . 着 ； 具有 M

叫单位向量.

2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.

3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)当λ＞0时，λa与A. ；

当λ＜0时，λa与A. ；

变式：如图，平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，

????????????????当λ＝0时，λa＝ . 'AB?a,AD?bAA?c,点P,M,N分别是，4. 向量加法和数乘向量运算律：

交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ CA',CD,'CD'的中点，点Q在CA'上，且CQ?4,

'QA1数乘分配律：λ(a＋b)＝

???5.① 表示空间向量的 所在的直用基底a,b,c表示下列向量：

?????????????????线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，

⑴ AP; ⑵ AM; ⑶ AN; ⑷ AQ.

也叫平行向量.

?? a,b②空间向量共线定理：对空间任意两个向量 ???? （b?0）， a//b的充要条件是存在唯一实数?， 使得 ；

③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向

?量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l 上的充要条件是

6. 空间向量共面：

①共面向量： 同一平面的向量.

例1 如图，空间四边形OABC中，OA?a,OB?b，

??????????? 82

例2 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，?ABC?90?,CB?1,CA?2,AA?,6点M是CC11的中点，求证：AM?BA1.

变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使得MN?AB1

例3已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1上的点.（1）求证：A1E?BD

(2)若平面A1BD?平面EBD，试确定E点得位置.

变式：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4,点E在CC1上，且C1E?3EC.

课后作业 1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、、A1C1是 ）

A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2）， c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（ ） A.

627?????D1C?????????? B.

6374．若a、b

7均为非零向量，则a?b?|a||b|是

C.

647 D.

65

a与b

共线的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

??????????????6. a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a?3b?（ ） A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

????????7．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA?a，CB?b，， 则A1B?（ ） A. a?b?c B. a?b?c C. ?a?b?c D.?a?b?c

?????CC1?c?????????????8.m?a,m?b,向量n??a??b(?,??R且?、

证明：A1C?平面EBD

83

??????A．m//n B． m与n不平行也不垂直

???C. m?n， D．以上情况都可能.

???????9. 已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19??0)则（ ）

，??则向量a与b???之间的夹角?a,b?为（ ）

?A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 10.已知a??1,1,0?b,???1,0,?2且,ka?b与2a?b互相垂直，则k的值是（ ） A. .1

B.

15???? C.

35 D.

75

11. 在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若AB?a，AD?b，

则DM= .（用a,b,c表示） AA1?c，

12. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)，

C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=

??13.（2010广东）若向量a?(1,1,x)，b?(1,2,1)

????c?(1,1,1)满足条件(c?a)?(2b)??2，则x?

§3.2立体几何中的向量方法（1）

14. 若a={3,m,4}与b={-2,2,m}的夹角为钝角，则m的取值范围是 . 15.下列是真命题的命题序号是 .

①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

③若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与

CD

学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题． 1.

?平面的法向量：如果表示向量n?? 学习过程 同向，则AB＞CD

AB的有向线段所在

?④若两个非零向量

AB与CD满足

AB+CD=0，则直线垂直于平面?，则称这个向量n垂直于平面?,记作n⊥?，那 么向量n叫做平面?的法向量. 系 .

?∥CD

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.

⑴ 求证：EF?CF；

⑵ 求EF与CG所成角的余弦 …… 此处隐藏：3892字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……