学案练习 数学人教版选修2-1 第三章 空间向量(3)

变式：已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点G

????????????????'''OC?b,OO?c是侧面BBCC的中心，且OA?a，

???试用向量a,b,c表示下列向量: ?????????????????⑴OB',BA',CA'; ⑵ OG.

变式 已知正四面体ABCD棱长为a，试建立适当的坐标系并表示出各个点的坐标. ?????1. 若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项

课后作业 ，

??中，能构成基底的是（ ）

?????aA.,a?b,a?b B. ?????C. c,a?b,a?b D.

?????b,a?b,a?b ??????a?2b,a?b,a?b

例3 PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点，并且PA?AB?1,试建立

?适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标.

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2．以下四个命题中正确的是( )

A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

→→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

→→

3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝

→→

2j，AA1＝5k，则AC1( )

111

A．i＋j＋k B.i＋j＋k

325

C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k 4．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空

→

间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，→→

BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 5．给出下列两个命题：

①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

→→→

②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是( )

A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确 6．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标

→

向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )

A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定

7．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G

→→→

是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB

→

＋zOC，则(x，y，z)为( )

111333A.?，，? B.?，，? ?444??444?111222C.?，，? D.?，，? ?333??333?8. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z，则点B的坐标是

9. 在三棱锥OABC中，G是?ABC的重心（三条中

????????????线的交点），选取OA,OB,OC为基底，试用基底表????示OG＝ ?????????????坐标原点，以AB,AD,AA'

16．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：

???????轴正方向的单位向量，且AB??i?j?k

→→→→(1)BD′＝xAD＋yAB＋zAA′. →→→→(2)AE＝xAD＋yAB＋ zAA.

17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1.选取恰

→→

当的基底求向量MN、DC的坐标．

10. 正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为2，以A为为x轴、y轴、z轴正方

向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .

11. 已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________． 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．

→→→

13．在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝

→

c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.

14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC

→→→→

中点，以{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为________． 15．如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，→→→

且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.

18．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

12

E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝

33

DD1.

→→

(1)用a，b，c表示向量OB′，AC′.

(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和

→

O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH.

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(1)证明：A、E、C1、F四点共面；

→→→→

(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．

??变式：设向量a?(2,1,6)，b?(?8,?3,2)，计算：

????2a?3b，3a?4b，

12??a?b

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示

学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题.

例2：已知?ABC的顶点坐标分别为A（-2,0,2）B

??（-1,1,2），C(-3,0,4)且满足(kAB?AC)?

??(kAB?2AC),求实数k的值.

自我评价 1. 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，则｜a｜＝

2. 两个向量的夹角公式： ????设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)， 变式：设a?(1,2,?1)，b?(?2,3,2)，若(ka?b)

??由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，

//(a?3b),求实数k的值. 又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，

由此可以得出：cos＜a,b＞＝

① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；

② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角

是 ；

③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，

例3. 如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E1,F1即a与b的位置关系是 ，用符合表示

分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所

为 .

成的角的余弦值． 3.设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴ a//B. ? a与b所成角是 ? a与b的坐

标关系为 ； ⑵ a⊥b?a与b的坐标关系为 ；

4. 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x,y,z)，111

B(x2,y2,z2)，则线段AB的长度为：

222 AB?(x2?x1)?(y1?y2)?(z1?z2).

5. 线段中点的坐标公式： 在空间直角坐标系中，已知点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标

为: .

典型例题

???? 例1 已知a?(2,?1,?2)，b?(0,?1,4)，求a?b， ?????????? a?b，a?b，2a?(?b)，(a?b)?(a?b)

变式：如上图,在正方体ABCD?1A1BC中，D 11

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B1E1?D1F1?A1B13，求BE1与DF1所成角的余弦值．

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