学案练习 数学人教版选修2-1 第三章 空间向量(2)

变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.

A

E H

D B G F

C

例3四棱锥P?ABCD的底面ABCD是平行四边形，点E,F,G,H分别为?PAB,?PBC,?PCD

?PDA的重心.

例4 H为四棱锥P?ABCD的棱PC的三等分点，PH?12四边形ABCD是平行四边形，若G,B,P,D四点共

HC,点G在AH上，AG?mAH，

（1）试用向量法证明四点E,F,G,H共面. （2）判断平面EFGH与平面ABCD是否平行，

并用向量法证明你的判断.

变式：已知斜三棱柱ABC?A1B1C1,点M,N分别在

?面，求实数m的值.

???变式：PA,PB,PC

是不共面的三个向量，若实数k1,k2,k3满足

????AC1?和

?BC?上，且满足

k1PA?k2PB?k3PC?0,求k1,k2,k3的值.

AM?kAC1,BN?kBC,(0?k?1)，求证：

???MN与向量AB,AA1共面.

72

??????????????11.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2,

课后作业： 1. 在平行六面体

??????????D1C、A1C1?????ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、

??????????????????AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证：A,B,C,D共

面．

是（ ）

12．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1

→

的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N→→

与A1B、A1M共面．

A. 有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量.

2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( )

A．共面 B．不共面C．共线 D．无法确定 3. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.

A．0 B.1 C. 2 D. 3

4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( ) →→→→→1→1→1→A.OP＝OA＋OB＋OC B.OP＝OA＋OB＋OC

333

→→1→1→

C.OP＝－OA＋OB＋OC D．以上皆错

22

5. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面

????????????????''A'B'C'D'的中心，若BB?xAD?yAB?zAA,

则x＝ ，y＝ ，z＝ .

6. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，

????则OP?

7. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D

????????????????1 的交点,则(AB?AD?AA')? AO.

313．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝

1－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面． 8．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝2

i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.

9.已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足

????1????2????2????A,B,C条件OP?OA?OB?OC，则点P与

555

(是否)共面 三、解答题 ????????10. 若a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp， ???? a?0，若a//b，求实数x,y.

14．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b

－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，

q，r是否共面？

+ .

73

????OA ????OB

例2 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，

AB?4,AD?3,AA'?5,?BAD?90?,?BAA'?DAA'=

=60°,求AC'的长.

§3.1.3．空间向量的数量积

学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 自我评价 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，

??????????aOB,b?，在空间 一点O，作OA?则?AOB??做向量a与b的夹角，记作 .

??叫

2) 向量的数量积：

变式：在正四面体ABCD中，棱长为a，M,N分别是棱AB,CD上的点，且

???????已知向量a,b，则 叫做a,b的数量积，

????记作a?b，即a?b? .

MB?2AM,CN?12??ND,求MN.

规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 3) 空间向量数量积的性质：

??????（1）设单位向量e，则a?e?|a|cos?a,e?． （2）a?b?a?b? ．

??（3）a?a? ＝ .

4) 空间向量数量积运算律：

??????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． （2）a?b?b?a（交换律）．

???????（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律

例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB?2，

?BC?3，BD?23，CD?3，?ABD?30，

??ABC?60，求AB与CD的夹角的余弦值 D

A C

B 变式：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

???????? 例

在空间四边形OABC中，

?AO?B?BO?C?AO,且COA?OB?OC

G是MN的中点，, M,N分别是OA,BC的中点，

3

求证：OG?BC

AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（ ）

A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

变式：在空间四边形OABC中，M,N，P,Q分

别为BC,AC,OA,OB的中点，若AB?OC,求证：

74

PM?QN

中，AA1?2AB，则异面直线BE与E为AA1中点，

CD1所成的角的余弦值为（ ）

A.

1010 B.

15 C.

31010 D.

35

课后作业： 1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向

量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( ) →→→→A.AE·BCAE·CD

→→→→ D.AE·BC与AE·CD不能比较大小 3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，→→→→→

设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则〈A′B，B′D′〉＝( ) A．30° B．60° C．90° D．120°

4．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )

A．62 B．6 C．12 D．144

5．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝( )

A．14 B.14 C．4 D．2 6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOCπ→→

＝，则cos〈OA，BC〉等于( ) 3

121

A. B. C．－ D．0 222

7．在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是( )

→→→→→→A．|AB＋AC＋AD|＝|AB＋AC－AD|

→→→→→→B．|AB＋AC＋AD|2＝|AB|2＋|AC|2＋|AD|2

→→→→C．(AB＋AD＋AC)·BC＝0 →→→→→→D.AB·CD＝AC·BD＝AD·BC

→→

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