26.1.5 待定系数法求二次函数的解析式 课件(人教版九年级下册)

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说一说说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:

zxxk

y=3x2y= -2x2+3

顶点(0.0)对称轴y轴顶点(0.3)对称轴y轴 顶点(-3.0)对称轴直线X=-3 顶点(2.1)对称轴直线X=2 顶点(-1.2)对称轴直线X=-1

y= - 4(x+3)21 (x-2)2+1 y= 2

y=x2+2x+3

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1、已知抛物线y=ax2+bx+c 0 当x=1时，y=0,则a+b+c=_____ a-b+c=0 经过点(-1,0),则___________ c=-3 经过点(0,-3),则___________ 16a+4b+c=5 经过点(4,5),则___________- b 对称轴为直线x=1,则___________ 2 a =1

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2、已知抛物线y=a(x-h)2+k -3 4 , 顶点坐标是(-3,4), 则h=_____,k=______ 2+4 a ( x+3 ) 代入得y=______________ h=1 对称轴为直线x=1,则___________2+k a ( x -1 ) 代入得y=______________

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求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？ 抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3) y=3(x-2)(x+1)

抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)(1,0)(3,0) (2,0)(-1,0) (-4,0)(-6,0) (x1,0),( x2,0)

y=-5(x+4)(x+6)-x1 )(x____ - x2 ) y=a(x___ ( a ≠0 )

交点式

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求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？ 抛物线解析式学科网

抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)(1,0)(3,0) (2,0)(-1,0) (-4,0)(-6,0) (x1,0),( x2,0)

y=a(x-1)(x-3)(a≠0) y=a(x-2)(x+1)(a≠0) y=a(x+4)(x+6)(a≠0) -x1 )(x____ - x2 ) y=a(x___ ( a ≠0 )

交点式

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二次函数常用的几种解析式一般式 顶点式 交点式 y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 一、设已知三个点坐标三对对应值，选择一般式 已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式

三、解 用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件 四、还原 的特点，恰当地选用一种函数表达式。

二、代 已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式

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例1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、一般式： y=ax2+bx+c

(1,4)、(2,7)三点，求这个函数的解析式？解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c

y

两根式： y=a(x-x1)(x-x2)

由条件得：

顶点式： y=a(x-h)2+k

a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得： a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函数是：

o

x

y=2x2-3x+5

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一、 一般式

1.已知一个二次函数的图 象经过(-1,8),(1, 2),(2,5)三点。求 这个函数的解析式

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例2 已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴交点为一般式： y=ax2+bx+c

(0,-5)求抛物线的解析式？ 解：设所求的二次函数为 y=a(x+1)2-3 y 由条件得： 点( 0,-5 )在抛物线上 o x

两根式： y=a(x-x1)(x-x2)

a-3=-5,顶点式： y=a(x-h)2+k

得a=-2

故所求的抛物线解析式为 y=-2(x+1)2-3

即：y=-2x2-4x-5

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二、顶点式

1、已知抛物线的顶点为 ( 2,3), 且过点(1, 4),求这个函数的解析 式。

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例3 已

知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0) 并经过点M(0,1),求抛物线的解析式？ 一般式：y=ax2+bx+c

两根式： y=a(x-x1)(x-x2)

顶点式： y=a(x-h)2+k

解： 设所求的二次函数为 y=a(x+1)(x-1) y 由条件得： x 点M( 0,1 )在抛物线上 o 所以：a(0+1)(0-1)=1 得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x+1)(x-1) 即：y=-x2+1

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三、交点式

1. 已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶 点为A点，若二次函数 2 y=ax +bx+c的图像经过A点， 且与x轴交于B(0,0)、C (3,0)两点，试求这个二次 函数的解析式。

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例4:根据二次函数的图象上三个点的坐标(-1,0), (3,0),(1,-5),求函数解析式。解法一 设所求二次函数解析式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点(-1,0),(3,0),(1,-5),依题意得a–b+c=0 9a+3b+c = 0 解得 a + b + c=-5a b -

5 45 2

c -

∴所求的函数解析式为 y 。

5 2 5 15 x - x4 2 4

15 4

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如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的 长分别是1和3,将△AOB绕O点按逆时针方 向旋转90°,至△DOC的位置，求过C、B、 y A三点的二次函数解析式。B (0,3)

当抛物线上的点 的坐标未知时， 应根据题目中的 隐含条件求出点 的坐标

D

(-3,0) CO

A(1,0) x

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例

题

选

讲

例6 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.现把它的图形放在坐标系里 (如图所示),求抛物线的解析式. 解： 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 根据题意可知 抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点 评价 通过利用给定的条件 可得方程组

列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式. 过程较繁杂，