2012年3月中考数学一轮复习精品讲义(含2011中考真题)_第二十八章

第二十八章 锐角三角函数

本章小结

小结1 本章概述

锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常遇到的问题人手，研究直角三角形的边角关系、锐角三角函数等知识，进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握锐角三角函数和直角三角形的解法，才能继续学习任意角的三角函数和解斜三角形等知识，同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合思想，应牢固掌握． 小结2 本章学习重难点

【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题．

【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解决实际问题． 【学习本章应注意的问题】

在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素，会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形来求解，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力． 小结3 中考透视

这一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函数值及几个三角函数间的关系，主要题型是选择题、填空题．另外解直角三角形在实际问题中的应用也是考查的一个重点，主要题型是填空题和解答题，约占3～7分．

知识网络结构图

直角三角形中 的边角关系

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义

【专题解读】 锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主． 例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )

1

A．sin A

B．tan A＝

2 C．cosB

D．tan B

分析 sinA＝

BC1BCBC1

＝，tan A＝，cos B＝＝．故选D.

22ABAC

AB

3

例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ( )

53434

A． B． C． D．

5435

分析 在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝

BC4k4

．故选D. AC3k3

分析 在Rt△ABC中，BC

3，∴sin A＝ 专题2 特殊角的三角函数值

【专题解读】 要熟记特殊角的三角函数值． 例4 计算|－3|＋2cos 45°－

1)0． 分析 cos 45

解：原式＝3＋2

． 1

2． BC33

．故填．

AB55

1

例5 计算－ ＋(－1)2007－cos 60°．

2

分析 cos 60°＝ 解：原式＝

1． 2

11

＋3＋(－1)－＝3－1＝2． 22

例6 计算|

＋(cos 60°－tan 30°)0

分析 cos 60°＝＝1，

1十＋

1．

1

例7 计算 －(π－3.14)0－|1－tan 60°|

.

2

3

1

，tan 30

，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0

2

分析 tan 60

解：原式＝8－1

1

2＝10.

专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用

【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力.

例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为

4

AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．

5 (1)求线段DC的长；

(2)求tan∠EDC的值.

分析 在Rt△ABD中，由sinB＝上的中线等于斜边的一半，得DE＝

AD

，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边AB

1

AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转2

化为求tan C.

解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC

AD

在Rt△ABD中，sin B＝．

AB

∵AD＝12，sin B＝

4

，∴AB＝15， 5

∴BD

9． ∵BC＝14，∴CD＝5．

(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝

1

AC＝EC， 2

∴∠EDC＝∠C

AD1212

∵tan C＝＝,∴tan∠EDC＝tan C＝．

55DC

例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B

＝cos∠DAC.

(1)求证AC＝BD；

12

(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长．

13

分析 (1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．

证明：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°． 在Rt△ABD和Rt△ADC中，

ADAD

∵tan B＝，cos∠DAC＝，tan B＝cos∠DAC，

BDAC

∴

ADAD＝，∴AC＝BD. BDAC

12

，设AD＝12k，AC＝13k， 13

解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝

∴CD

5k． ∵BC＝BD＋CD，AC＝BD， ∴BC＝13k＋5k＝18k．

由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝ ∴AD＝12k＝12×

2， 3

2

＝8． 3

例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，

BC＝30＋

AB的长．

分析 过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．

解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.

ADADAD

在Rt△ADB中，tanB＝，∴BD＝＝x，

tanBtan45 BD 在Rt△ADC中，tan C＝

ADADAD

，∴CD＝＝．

tan30

CDtanC

又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋

∴x

＝30＋

,∴x＝30． 在Rt△ABD中，sin B＝ ∴AB＝

AD

， AB

AD30

sinBsin45

专题4 用锐角三角函数解决实际问题

【专题解读】 加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，其主要类型有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑测量问题、高度测量问题等，解决各类应用问题时要注意把握各类图形的特征及解法． 例11 如图28－127所示，小山上有一棵树，现有一测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚的水平地面上测出小树顶端A到水平地面上的距离AB． (1)画出测量示意图；

(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (3)根据(2)中的数据计算AB．

解：(1)测量示意图如图28—128所示．

(2)测量步骤．

第一步：在地面上选择点C安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角∠AHE＝α.

第二步：沿CB方向前进到点D，用皮尺量出C，D之间的距离 CD＝m．

第三步：在点D安装测角仪，测得此时小树顶端A的仰角

∠AFE＝β.

第四步：用皮尺测出测角仪的高h．

xx

(3)令AE＝x，则tan α＝，得HE＝.

HEtan xx

又tan β＝ …… 此处隐藏：2754字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……