高等数学复旦大学出版社习题答案三(8)

令y???0，得x?1?2. 2当x?(??,1]时，y??0,函数单调增加； 当x?[1,??)时，y??0,函数单调减少；

当x?(??,1?22]?[1?,??)时，y???0，曲线是凹的； 22当x?[1?22,1?]时，y???0，曲线是凸的, 221?2?12故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：A(1?,e2),B(1?,e2)，

22又limf(x)?0，故曲线有水平渐近线y=0.

x??图形如下：

40. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族

y?建立了动物的生长模型.

A,???x???,A,B,C?0

1?Be?cxA的图像，参数A的意义是什么(设x表示时间，y表示?cx1?e(1) 画出B=1时的曲线g(x)?某种动物数量)？

Ace?cx解：g?(x)??0，g(x)在(－∞，+∞)内单调增加， ?cx2(1?e)?Ac2e?cx?Ac2e?cx?2(1?e?cx)?e?cx?Ac2e?cx(1?e?2cx) g??(x)??(1?e?cx)4(1?e?cx)4当x>0时，g??(x)?0,g(x)在(0，+∞)内是凸的. 当x<0时，g??(x)?0,g(x)在(－∞，0)内是凹的. 当x=0时，g(x)?

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A. 2且limg(x)?0,limg(x)?A.故曲线有两条渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特定

x???x???环境中)最大值，即承载容量.如图：

(2) 计算g(－x)+g(x)，并说明该和的意义；

解：g(?x)?g(x)?A1?ecx?A1?e?cx?A. (3) 证明：曲线y?A1?Be?cx是对g(x)的图像所作的平移.

证明：∵y?AA1?Be?c(x?T)?1?Be?cxe?cT 取Be?cT?1，得T?lnBc

即曲线y?A1?Be?cx是对g(x)的图像沿水平方向作了T?lnBc个单位的平移.

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