高等数学复旦大学出版社习题答案三(2)

cosxlimlny?limln(1?sinx)x?lim1?sinxx?0x?0x?01?1 ∴原式=e?=e.

1⒀ 原式?lnxxxlim(ln?0?x?x)?xlim?0?1=xlim?0?1=lim(x?0??x)?0 x?x231?1?11⒁ 原式?xlimxx2?x3?1???1

x =1111?2?2?3?421xlim???3(1?x?x2?x3)3?(x?2x?3x)?x=3⒂ 原式?limesinx(ex?sinx?1)esinx?(x?sinx)0x?0x?sinx=limx?0x?sinx=e=1 sinx1⒃ 令y?(x2x)，则

11limlnlnsinx?lnxsinxcosx?xx?0y?limx?0x2?limx?02x ?limxcosx?sinxxcosx?sinxx?02x2sinx?limx?02x3 ?limcosx?xsinx?cosx?x21x?06x2?limx?06x2??6.∴原式=e?16.

⒄ 令y?[11111e(1?x)x]x，则lny?x[ln(1?x)x?1]

1limlnln(1??1x?0y?limx)?xx?0x2?lim1?xx?02x

??1112limx?01?x??2.12. 求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.

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1x； ⑵ lim(1?k)x； ⑴ limx???x?0sinxxx2sinx?sinxex?e?x. ⑶ lim； ⑷ limxx??x?sinxx???e?e?x1112xsin?cosx?limxx不存在,（因sin1，cos1为有界函数）解：⑴ ∵lim

x2sinx?0sinxx?0cosxxxx2sin1 又limx?limxsin1x?0sinxx?0x?0, 故不能使用洛必达法则.

⑶ ∵limx?sinxx??x?sinx?lim1?cosxx??1?cosx不存在,

sin 而limx?sinx1?xx??x?sinx?limxx???1. 1?sinxx 故不能使用洛必达法则.

⑷ ∵ex?e?xex?e?xex?e?xxlim???ex?e?x?xlim???ex?e?x?xlim???ex?e?x 利用洛必达法则无法求得其极限.

而ex?e?x1xlim???ex?e?x?xlim?e?2x???1?e?2x?1. 故答案选（2）.

13. 设limx2?mx?nx?1x?1?5,求常数m, n的值. 解：要使limx2?mx?nx?1x?1?5成立，则lim(x?1x2?mx?n)?0,即1?m?n?0又limx2?mx?nx?1x?1?lim2x?mx?11?2?m?5 得m?3,n??4 14. 设f(x)二阶可导，求limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)h?0h2.

解：

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limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)f?(x?h)?f?(x?h)?limh?0h?0h22h1f?(x?h)?f?(x)f?(x?h)?f?(x) ?lim[?]h?02h?h1f?(x?h)?f?(x)f?(x?h)?f?(x) ?[lim?lim]

h?02h?0h?h1 ?[f??(x)?f??(x)]2 ?f??(x).15. 确定下列函数的单调区间： (1) y?2x3?6x2?18x?7；

解：所给函数在定义域(??,??)内连续、可导，且

y??6x2?12x?18?6(x?1)(x?3)

可得函数的两个驻点：x1??1,x2?3,在(??,?1),(?1,3),(3,??)内，y?分别取+，–，+号，故知函数在(??,?1],[3,??)内单调增加，在[?1,3]内单调减少. (2) y?2x?8 (x?0)； x8，则函数2x解: 函数有一个间断点x?0在定义域外，在定义域内处处可导，且y??2?有驻点x?2，在部分区间(0,2]内，y??0；在[2,??)内y?>0，故知函数在[2,??)内单调增加，而在(0,2]内单调减少. (3) y?ln(x?1?x2)； 解: 函数定义域为(??,??)，y??11?x2?0,故函数在(??,??)上单调增加.

(4) y?(x?1)(x?1)；

2解: 函数定义域为(??,??),y??2(x?1)(2x?1)，则函数有驻点: x??1,x?31,在211(??,]内， y??0，函数单调减少；在[,??)内， y??0，函数单调增加.

22(5) y?xe (n?0,x?0)； 解: 函数定义域为[0,??)，y??nxn?1?xn?xe?xne?x?e?xxn?1(n?x)

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函数的驻点为x?0,x?n,在[0,n]上y??0，函数单调增加；在[n,??]上y??0，函数单调减少.

(6) y?x?sin2x； 解: 函数定义域为(??,??),

?x?sin2x, x?[nπ,nπ?πy???], n?Z,?2

?x?sin2x, x?[nπ?π??2,nπ], n?Z.1) 当x?[nπ,nπ?π2]时， y??1?2cos2x，则 y??0?cos2x??12?x?[nπ,nπ?π3]；

y??0?cos2x??πππ2?x?[nπ?3,nπ?2].

2) 当x?[nπ?π2,nπ]时， y??1?2cos2x，则

y??0?cos2x?1ππ2?x?[nπ?2,nπ?6]

y??0?cos2x?1π2?x?[nπ?6,nπ].

综上所述，函数单调增加区间为[kπkπ2,2?π3] (k?z)， 函数单调减少区间为[kππkπ2?3,2?π2] (k?z). (7) y?(x?2)5(2x?1)4. 解: 函数定义域为(??,??).

y??5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4

函数驻点为x11??2,x112?18,x3?2, 在(??,?12]内， y??0,函数单调增加，

在[?12,1118]上， y??0,函数单调减少，

在[1118,2]上， y??0,函数单调增加， 在[2,??)内， y??0,函数单调增加.

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故函数的单调区间为: (??,?]，[?16. 证明下列不等式: (1) 当0?x?1211111,]，[,??). 21818π时， sinx?tanx?2x; 2(1?cosx)(cos2x?cosx?1)证明: 令f(x)?sinx?tanx?2x,则f?(x)?, 2cosxπ时， f?(x)?0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x)?f(0)?0, 2即sin2x?tanx?2x.

当0?x?x2. (2) 当0?x?1时， e?sinx?1?2?xx2证明: 令f(x)=e?sinx?1?,则f?(x)=?e?x?cosx?x,

2?xf??(x)=e?x?sinx?1?e?x?(sinx?1)?0,则f?(x)为严格单调减少的函数,故

f?(x)?f?(0)?0,即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)?f(0?),即0x2e?sinx?1?.

2?x17. ⑴ 证明：不等式

x?ln(1?x)?x (x?0) 1?x证明：令f(x)?ln(1?x)在[0，x]上应用拉格朗日定理，则???(0,x),使得 f(x)?f(0)?f?(?)(x?0)

即ln(1?x)?xxx??x ,因为0???x，则

1??1?x1??即

x?ln(1?x)?x (x?0) 1?x⑵ 设a?b?0,n?1.证明： nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b).

n证明：令f(x)?x,在[b，a]上应用拉格朗日定理，则???(b,a).使得 a?b?n?nnn?1(a?b), ??(b,a)

n?1n?1n?1因为b???a,则nb(a?b)?n?(a?b)?na(a?b),

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