高等数学复旦大学出版社习题答案三(6)

x?yex?ey即 e2?2.

(3) xlnx?ylny?(x?y)lnx?y2 (x?0,y?0,x?y) 证明：令 f(x)=xlnx (x>0)

f?(x)?lnx?1, f??(x)?1x?0 (x?0) 则曲线y?f(x)是凹的，?x,y?R?，x≠y，有

f??x?y?f(x)?f(y)?2???2 即 x?yx?y2ln2?12(xlnx?ylny)， 即 xlnx?ylny?(x?y)lnx?y2.

33. 求下列曲线的拐点：

(1) x?t2,y?3t?t3;

解：dy3?3t2dx?2t, d2y3(t2?1)dx2?4t3 令d2ydx2?0，得t=1或t=－1 则x=1，y=4或x=1，y=－4

当t>1或t<－1时，d2ydx2?0，曲线是凹的，

当0

故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).

(2) x=2acotθ， y=2asin2θ. 解：

dy2a?dx?2sin??cos?2a?(?csc2?)??2sin3?cos? d2y211dx2?(?6sin?cos2??2sin4?)?2a(?csc2?)?a?sin4?cos2(3?tan2?)d2令yππdx2?0，得??3或???3，

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ππd2y不妨设a>0，不失一般性，当3?tan???3时，即????时，2?0，

33dxππd2y当tan??3或tan???3时，即???或??时，2?0,

33dx故当参数??

ππ?233??233?或???时，都是y的拐点，且拐点为?a,a?及??a,a?. 332??32??334. 试证明：曲线y?x?1x2?1有三个拐点位于同一直线上. 证明：y???x2?2x?1(x2?1)2， y???2(x?1)(x?2?3)(x?2?3)(x2?1)3 令y???0，得x??1,x?2?3,x?2?3 当x?(??,?1)时，y???0； 当x?(?1,2?3)时y???0； 当x?(2?3,2?3)时y???0； 当x?(2?3,??)时y???0,

因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2?3,?1?3?1?4),(2?3,34). 1?1?112?3?1?3因为

4=0 12?3?1?34因此三个拐点在一条直线上.

35. 问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？ 解：y′=3ax2+2bx, y″=6ax+2b 依题意有

??a?b?3?6a?2b?0 87

解得 a??39,b?. 2236. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a，b，c，d，使得x=－2处曲线有水平切线，(1，－10)

为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f(x)= ax3+bx2+cx+d

联立f(－2)=44，f ′(－2)=0，f(1)=－10，f ″(1)=0 可解得a=1，b=－3，c=－24，d=16.

37. 试决定y?k(x2?3)2中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：y??4kx(x2?3), y???12k(x2?1) 令y???0，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k， 只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点.

y?x??1??8k，那么拐点处的法线斜率等于?由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此