高等数学复旦大学出版社习题答案三(4)

即1?xx?1?1?

221??cosx1??0,证明:设f(x)?sinx?x，则f(x)?f(x)为严格单调减少的函数，因此f(x)至多只有一个实根.而f(0)?0，即x?0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根x?0，也就是sinx?x只有一个实根.

19. 求下列函数的极值: (1) y?x?2x?3；

解: y??2x?2,令y??0，得驻点x?1.

又因y???2?0，故x?1为极小值点，且极小值为y(1)?2. (2) y?2x?3x；

解: y??6x?6x,令y??0，得驻点x1?0,x2?1,

2322 76

y???12x?6,y??x?0?0,y??x?1?0,

故极大值为y(0)?0，极小值为y(1)??1. (3) y?2x3?6x2?18x?7；

解: y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1), 令y??0，得驻点x1??1,x2?3.

y???12x?12,y??x??1?0,y??x?3?0,

故极大值为y(?1)?17，极小值为y(3)??47. (4) y?x?ln(1?x)； 解: y??1?1?0，令y??0，得驻点x?0. 1?xy???1,y??x?0?0,故y(0)?0为极大值. 2(1?x)(5) y??x4?2x2；

解: y???4x?4x?4x(1?x)， 令y??0，得驻点x1??1,x2?0,x3?1.

32y????12x2?4, y??x??1?0,y??x?0?0,

故y(?1)?1为极大值，y(0)?0为极小值. (6) y?x?1?x； 解: y??1?31,令y??0，得驻点x1?,且在定义域(??,1]内有一不可导点x2?1，

421?x33335时， y??0;当x?时， y??0,故x1?为极大值点，且极大值为y()?. 44444因为函数定义域为x?1，故x?1不是极值点.

当x?(7) y?1?3x4?5x2；

解: y??12?5x(4?5x2)3,令y??0，得驻点x?12. 577

当x?125时， y??0；当x?125，y??0,故极大值为y(1215)?10205. (8) y?3x2?4x?4x2?x?1；

解: y?3?x?1?xx2?x?1,y??(x?2)(x2?x?1)2, 令y??0，得驻点x1??2,x2?0.

???(?2x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x)(x2?x?1)3 y??x??2?0,y??x?0?0,

故极大值为y(0)?4，极小值为y(?2)?83. (9) y?excosx； 解: y??ex(cosx?sinx), 令y??0，得驻点xk?kπ?π4 (k?0,?1,?2,?). y????2exsinx，y??x?2kπ?π?0,y??4x?(2k?1)π?π?0，

4故xπ22kπ?π2k?2kπ?4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?2e4; xπ?π2(2k?1)π?π2k?1?(2k?1)44 为极小值点，对应的极小值为y(x2k?1)??2e.

1(10) y?xx；

11解: y??xx(1xlnx)??xx1?lnxx2,

令y??0，得驻点x?e.

当x?e时， y??0，当x?e时， y??0, 1故极大值为y(e)?ee. (11) y?2ex?e?x；

78

解: y??2ex?e?x,令y??0，得驻点x??ln2. 2y???2ex?e?x,y??x??ln2?0,

2故极小值为y(?ln2)?22. 223(12) y?2?(x?1)； 解: y???21，无驻点. y的定义域为(??,??)，且y在x=1处不可导，当x>1时y??0，

33x?1当x<1时， y??0，故有极大值为y(1)?2. (13) y?3?2(x?1)； 解: y???1321.无驻点.y在x??1处不可导，但y?恒小于0，故y无极值. 233(x?1)(14) y?x?tanx.

解: y??1?sec2x?0, y为严格单调增加函数，无极值点.

20. 试证明：如果函数y?ax3?bx2?cx?d满足条件b?3ac?0，那么这函数没有极值.

2证明：y??3ax?2bx?c，令y??0，得方程3ax?2bx?c?0，

2222由于 ??(2b)?4(3a)c?4(b?3ac)?0，那么y??0无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

21. 试问a为何值时，函数f(x)?asinx?sin3x在x?极小值？并求此极值. 解：f(x)为可导函数，故在x?13π处取得极值？它是极大值还是3π处取得极值，必有 3π?0，得a=2. f?()?(acosx?cos3x)π3x?3又 f??()?(?2sinx?3sin3x)π3πx?3??3?0，

所以x?ππ是极大值点，极大值为f()?3. 3354, x?(??,0)； x79

22. 求下列函数的最大值、最小值：

(1) f(x)?x2?

2(x3?27)?0，得唯一驻点x=－3 解：y的定义域为(??,0)，y??x2且当x?(??,?3]时，y??0，y单调递减；当x?[?3,0)时，y??0，y单调递增, 因此x=－3为y的最小值点，最小值为f(－3)=27. 又limf(x)???，故f(x)无最大值.

x???(2) f(x)?x?1?x, x?[?5,1]；

解：y??1?31?0，在(?5,1)上得唯一驻点x?，

421?x又 y????3??4?5, y(1?) 1,y?(?5)?6, 45故函数f(x)在[－5，1]上的最大值为

5，最小值为6?5. 4(3) y?x4?8x2?2, ?1?x?3.

解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，

而 y(－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 23. 求数列??n?的最大的项.

??n?1000?x,

x?10001(x?1000)?x(x?1000)2?x?1000?2x1000?x?

2x(x?1000)22x(x?1000)2解：令y?y??2x令y??0得x=1000.因为在(0，1000)上y??0，在(1000,??)上y??0,

所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点，ymax?y(1000)?1000. 2000故数列?n?的最大项为a?1000.

?10002000?n?1000??b为端点的闭区间上的最大值和最a24. 设a为非零常数，b为正常数，求y=ax2+bx在以0和小值.

80